Решение типового варианта по математике

 Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Доказать сходимость ряда 
сходимость знакочередующийся ряд
Основные свойства преобразования Лапласа
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Дифференцирование функций
Правило Лопиталя вычисления пределов
Найти частные производные первого порядка
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Направления выпуклости графика функции одного переменного
Провести полное исследование и построить график функции
Экстремумы функции двух переменных.
Интегралы и их приложения
Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Приложения определенного интеграла

Вычисление пределов

Основные теоретические положения. Вычисление пределов опирается на свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций и основные теоремы об арифметических действиях с пределами. Используется также один из известных замечательных пределов:

  (1.1.)

Следует учитывать и теорему о пределе сложной функции. В частности, в силу этого утверждения

   (1.2)

Пусть . При вычислении предела алгебраической суммы функций возможны ситуации:

1) если A и B – конечные числа, тогда  (по теореме о пределе алгебраической суммы);

2) если один из пределов (A или B) конечен, а другой является одним из бесконечных символов, то  (в силу свойств бесконечно больших функций);

3) в случае, когда f(x) и g(x) – бесконечно большие функции одного знака, то ; если же f(x) и g(x) – бесконечно большие функции разных знаков, то ничего конкретного (в общей ситуации) утверждать нельзя, поэтому говорят о неопределенности вида , требующей дополнительного исследования.


Вычисляя предел произведения функций, необходимо учитывать следующее:

1) если A и B – конечные числа, то  (по теореме о пределе произведения);

2) если один из пределов (A или B) конечен и отличен от нуля(!), а другой является одним из бесконечных символов, то  (по свойству бесконечно больших функций);

3) если один из пределов равен нулю, а второй является одним из бесконечных символов, то говорят о неопределенности вида .

Наконец, при вычислении пределов частного применяются такие правила:

1) если A и B – конечные числа, причем B¹0, то  (по теореме о пределе частного);

2) если A и B – конечные числа, причем A¹0, B=0, то  (так как функция 1/g(x) при этом является бесконечно большой при  и остается воспользоваться свойствами бесконечно больших функций);

3) если , а B – любое конечное число, то , а если , а А – любое конечное число, то  (в силу свойств бесконечно больших функций);

4) наконец, если A=B=0, то говорят о неопределенности вида , а если A и B – бесконечные символы, то о неопределенности вида .

1.2. Раскрытие неопределенностей вида . В данном случае в числителе и знаменателе рекомендуется вынести за скобки слагаемое, которое растет быстрее других (для многочленов, в частности, это слагаемое, имеющее старшую степень). В результате алгебраическая сумма представляется в виде произведения бесконечно большой функции на функцию, имеющую конечный и отличный от нуля предел.

Пример 1.1. Вычислить .

Решение. Предел последовательности можно рассматривать как частный случай предела функции. Очевидно, что в силу свойств бесконечно больших функций при  и . Поэтому имеем неопределенность вида . Проведем подготовительные преобразования:

.

Далее получаем:

.

Последнее равенство справедливо в силу теорем о пределе суммы и частного функций с учетом того, что все слагаемые, кроме единиц, являются бесконечно малыми (по теореме о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями).

1.3. Раскрытие неопределенностей вида . Неопределенности такого вида возникают, как правило, либо при исследовании разности двух дробей (в этом случае рекомендуется приводить дроби к общему знаменателю), либо при рассмотрении разности иррациональных выражений (для избавления от иррациональностей следует преобразовать исходное выражение либо к разности квадратов, либо к сумме или разности кубов). Далее задача сводится к рассмотренной выше неопределенности вида .

Пример 1.2. Вычислить .

Решение. В данном случае, чтобы раскрыть неопределенность , необходимо умножить и разделить рассматриваемое выражение на «сопряженное», чтобы прийти к разности квадратов. Для   таким «сопряженным» является . Таким образом, получаем:

.

Таким образом, мы попали в ситуацию, разобранную при решении примера 1.1. Проведем соответствующие преобразования в знаменателе:

.

Итак, .

http torrentino ru

На главную страницу: Решение курсовой