Решение типового варианта по математике

 Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Ответы виду холуйская лаковая миниатюра palekh.su.
Доказать сходимость ряда 
сходимость знакочередующийся ряд
Основные свойства преобразования Лапласа
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Дифференцирование функций
Правило Лопиталя вычисления пределов
Найти частные производные первого порядка
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Направления выпуклости графика функции одного переменного
Провести полное исследование и построить график функции
Экстремумы функции двух переменных.
Интегралы и их приложения
Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Приложения определенного интеграла

Приложения определенного интеграла.

Как известно, криволинейной трапецией, соответствующей неотрицательной и непрерывной на отрезке [a;b] функции f(x), называется область, ограниченная графиком функции y=f(x), осью OX и двумя вертикальными прямыми x=a, x=b. Коротко это можно записать так:   (см. рис.3).

Геометрический смысл определенного интеграла заключается в том, что площадь такой криволинейной трапеции вычисляется по формуле

  (5.7)

Если область на плоскости имеет вид  (см. рис.4), причем от обеих функций требуется только непрерывность, то справедлива формула

 . (5.8)

 

Рис. 3 Рис. 4

Пример 5.7. Найти площадь области, ограниченной: 

а) осью ОХ и линиями ;

б) графиками функций .

Решение. Предварительно необходимо построить соответствующие графики и определить область, площадь которой нужно найти. Для случая а) это сделано на рис.5 (стр.35). Очевидно, что заштрихованная область представляется в виде объединения двух криволинейных трапеций:  и . Здесь  – абсцисса точки пересечения графиков функций . Нужное значение найдем, решая соответствующую систему уравнений:

Таким образом, выбираем решение  (с учетом того, что ). Площади криволинейных трапеций   и  находим по формуле (5.7), а затем суммируем, чтобы получить область всей интересующей нас области:

   .

В случае б) графики и область, площадь которой надо найти, изображены на рис.6 (стр.35). Очевидно, что мы имеем дело с объединением двух областей. При этом   (эта криволинейная трапеция состоит из двух симметричных относительно оси OX частей, поэтому , где ) и . Как и выше,  и  - абсциссы точек пересечения графиков, которые находим, решая систему уравнений:

откуда  и . Для вычисления площади криволинейной трапеции   применяем формулу (5.7), для вычисления площади  - (5.8):

Окончательно имеем:

Замечание. Другие примеры, связанные с нахождением неопределенных и определенных интегралов и определением площадей плоских областей можно найти в [1, стр.19-24], [2, стр.3-8] и [4, стр.3-11].

 

Рис. 5 Рис.6

На главную страницу: Решение курсовой