Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Можно заметить, что иногда часть подынтегральной функции образует дифференциал некоторого выражения, что позволяет применять табличные формулы.
Пример 5.2 Найти: а)
; б)
.
Решение. В примере а) можно заметить, что
, а затем воспользоваться формулой 5) при u=lnx:
В случае б)
, а потому в силу 11) при
получим:
Замечание 1. При внесении под знак дифференциала полезно, наряду с использованными выше, учитывать следующие соотношения:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Замечание 2. Интегралы из примера 5.2. можно было найти и с помощью замены переменной. При этом в определенном интеграле следует менять и пределы интегрирования. Преобразования в 5.2.б) выглядели бы, например, так:
В общем случае выбор замены определяется видом подынтегральной функции. В некоторых случаях рекомендуются специальные замены. Например, если в выражении присутствует иррациональность вида
, то можно положить
или
.
Пример 5.3 Найти: а)
; б)
.
Решение. В случае а) имеем
(после замены применили табличную формулу 11)).
При решении б) обязательно проводим замену пределов интегрирования.
5.3. Интегрирование по частям. В ряде случаев помогает «формула интегрирования по частям». Для неопределенного интеграла она имеет вид
, (5.2)
для определенного
, (5.3)
При этом важно учитывать следующее.
1) Если подынтегральная функция содержит произведение многочлена от x на функции
, то в качестве u выбирается многочлен, а оставшееся под знаком интеграла выражение относится к dv.
2) Если подынтегральная функция содержит обратные тригонометрические (
) или логарифмические (
) функции, то в качестве u выбирается одна из них.
Пример 5.4. Найти: а)
; б)
.
Решение. В случае а) применяем формулу (5.2) и второе правило. Именно, полагаем
. Тогда
. Далее,
, а потому
. Следовательно,
. В полученном интеграле выделим целую часть подынтегральной функции (так поступают, когда степень числителя не меньше степени знаменателя):
.
Окончательно решение выглядит так:
В примере б) используем (5.3) и первое из правил.
На главную страницу: Решение курсовой |
|