Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Можно заметить,
что иногда часть подынтегральной функции образует дифференциал некоторого выражения,
что позволяет применять табличные формулы.
Пример 5.2 Найти: а) 
; б) 
.
Решение. В примере а) можно заметить, что 
, а затем воспользоваться формулой 5) при u=lnx:
В
случае б) 
, а потому в силу 11) при 
получим:
Замечание
1. При внесении под знак дифференциала полезно, наряду с использованными выше,
учитывать следующие соотношения:
;
; 
; 
; 
;
;
; 
; 
.
Замечание 2. Интегралы из примера 5.2.
можно было найти и с помощью замены переменной. При этом в определенном интеграле
следует менять и пределы интегрирования. Преобразования в 5.2.б) выглядели бы,
например, так:
В
общем случае выбор замены определяется видом подынтегральной функции. В некоторых
случаях рекомендуются специальные замены. Например, если в выражении присутствует
иррациональность вида 
, то можно положить 
или 
.
Пример 5.3 Найти: а) 
; б) 
.
Решение. В случае а) имеем
(после
замены применили табличную формулу 11)).
При решении б) обязательно проводим
замену пределов интегрирования.
5.3.
Интегрирование по частям. В ряде случаев помогает «формула интегрирования по частям».
Для неопределенного интеграла она имеет вид
, (5.2)
для определенного
, (5.3)
При этом важно учитывать следующее.
1)
Если подынтегральная функция содержит произведение многочлена от x на функции
, то в качестве u выбирается многочлен, а оставшееся под
знаком интеграла выражение относится к dv.
2) Если подынтегральная функция
содержит обратные тригонометрические (
)
или логарифмические (
) функции, то в качестве u выбирается одна из них.
Пример
5.4. Найти: а) 
; б) 
.
Решение. В случае а) применяем формулу (5.2) и
второе правило. Именно, полагаем 
. Тогда 
. Далее, 
, а потому 
. Следовательно, 
. В полученном интеграле выделим целую часть подынтегральной
функции (так поступают, когда степень числителя не меньше степени знаменателя):
.
Окончательно
решение выглядит так:
В
примере б) используем (5.3) и первое из правил.
