Решение типового варианта по математике

 Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Плей Фортуна казино играть на деньги
Доказать сходимость ряда 
сходимость знакочередующийся ряд
Основные свойства преобразования Лапласа
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Дифференцирование функций
Правило Лопиталя вычисления пределов
Найти частные производные первого порядка
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Направления выпуклости графика функции одного переменного
Провести полное исследование и построить график функции
Экстремумы функции двух переменных.
Интегралы и их приложения
Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Приложения определенного интеграла

Экстремумы функции двух переменных.

Сразу отметим, что само определение локальных экстремумов функции  фактически не отличается от случая функции одного переменного  (только теперь точками локального экстремума будут точки вида ). Алгоритм поиска состоит в следующем.

1) Установить область определения функции.

2) Найти ее частные производные первого порядка и приравнять их к нулю, т.е. решить систему уравнений

.

Решения этой системы дадут координаты стационарных точек.

3) Найти частные производные второго порядка для исследуемой функции и вычислить их значения в найденных ранее стационарных точках вида .

4) Найти для каждой стационарной точки числовые характеристики:

  (4.2)

5) Если , то  - точка локального минимума исходной функции и ; если , то  - точка локального максимума исходной функции и ; во всех остальных случаях  не является точкой экстремума.

Пример 4.8. Найти экстремумы функции .

Решение. Функция определена при всех парах (x,y). Найдем частные производные первого порядка, приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

;

.

Отсюда получаем, что y = -1 и x = 4.

Итак, найдена стационарная точка M(4;-1). Находим частные производные второго порядка:

;

.

В данном случае производные от x, y не зависят, поэтому и для стационарной точки M(4;-1) имеем: ; ; . В силу (.4.2) , поэтому M(4;-1) является точкой локального экстремума исходной функции. Далее, , следовательно, M(4;-1) – точка локального максимума f(x,y), и

Пример 4.9. Найти экстремумы функции , считая, что x>0 и y>0.

Решение. Область определения функции задана в условии. Найдем частные производные первого порядка: , . Далее, решаем систему уравнений (учитывая условие x>0, y>0):

Итак, определена стационарная точка M(1;1). Находим частные производные второго порядка: . Вычисляем их значения в точке M: ; . Подставляем в (4.2). Так как , то M(1;1) – точка экстремума; поскольку , то она является точкой локального минимума исходной функции и .

Понятие об условном экстремуме функции двух переменных. При решении примера 4.9 мы столкнулись с тем, что на переменные было наложено дополнительное ограничение. Фактически это была задача поиска условного экстремума функции , которая в общем случае ставится следующим образом: найти экстремумы функции , если известно, что переменные удовлетворяют условиям , ,..., . Для решения подобных проблем существует специальная теория, однако в некоторых ситуациях задачу удается свести к поиску обычного экстремума функции одного переменного.

Пример 4.10. Найти экстремум функции  при условии .

Решение. Из условия выразим y и подставим в формулу, задающую функцию: , а потому .

Мы получили функцию одного переменного, которую исследуем по схеме, разобранной в п.4.1. Функция определена при всех x. Приравнивая к нулю производную, получаем: . Далее определяем знак производной на интервала и строим таблицу:

x

-5/3

1

+

0

0

+

Вывод

Возр.

Т. макс.

Убыв.

Т. мин.

Возр.

Для известных значений x найдем соответствующие им значения y: при x=1 y=2; при x=-5/3 y=14/3. Существующие в теории утверждения позволяют говорить о том, что точка M(1;2) будет точкой минимума исходной функции , а точка N(-5/3;14/3) – точкой максимума этой функции. Соответственно,

.

На главную страницу: Решение курсовой