Решение типового варианта по математике

 Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Доказать сходимость ряда 
сходимость знакочередующийся ряд
Основные свойства преобразования Лапласа
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Дифференцирование функций
Правило Лопиталя вычисления пределов
Найти частные производные первого порядка
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Направления выпуклости графика функции одного переменного
Провести полное исследование и построить график функции
Экстремумы функции двух переменных.
Интегралы и их приложения
Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Приложения определенного интеграла

Исследование функций

Интервалы монотонности и точки экстремума функции . Как известно, характер монотонности функции на числовом интервале (a,b) связан со знаком ее производной на этом интервале (если  при всех x из (a,b), то функция возрастает, а если   при всех x из (a,b), то убывает). Далее, пусть X – область определения функции  и . Если для всех x из некоторой окрестности точки  выполняется неравенство   (или ), то число M (m) называется локальным максимумом (локальным минимумом) функции , а сама точка  - точкой локального максимума (локального минимума). Оба числа объединяются термином «экстремум функции» (соответственно, говорят и о «точках экстремума»).

При решении задач на поиск экстремумов функции одного переменного придерживаются следующей схемы рассуждений.

1) Установить область определения функции .

2) Найти ее первую производную.

3) Выяснить, в каких точках из области определения производная обращается в нуль (т.е. решить уравнение f’(x) = 0 ) Такие точки называются стационарными. Найти значения x, при которых функция определена, а производная – нет (эти точки в дальнейшем называются критическими).

4) Определить знак производной на числовых интервалах, на которые стационарные и критические точки разбили область определения, сделать выводы о характере монотонности.

5) Если при переходе через найденную точку  производная знак не меняет, то  не является точкой экстремума; если в окрестности точки  слева от нее, а справа , то  - точка максимума исходной функции и ; если же в окрестности   слева и  справа, то  - точка минимума исходной функции и .

Пример 4.1. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее производная имеет вид  и также определена при всех x. Из уравнения   находим стационарные точки: , . Составляем таблицу для числовых интервалов и определяем знак производной. Для этого, наряду с другими способами, можно ограничиться вычислением значения производной в промежуточных точках полученных интервалов. Например, ,  . Считаем также значения функции в найденных точках: , . Данные собираем в таблицу, в последней строке которой указываем характер монотонности функции:

X

–1

1

0

+

0

Поведение f(x)

-2

2

Вывод

Убыв.

Т мин.

Возр.

Т. макс.

Убыв.

Итак, f возрастает на интервале , убывает на интервалах  и , имеет точку локального минимума x=-1 (при этом ) и точку локального максимума x=1 ().

Пример 4.2 Найти экстремумы функции .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, кроме x=-2. Дифференцируя частное, получаем, что . Очевидно, что производная также определена при всех x, кроме x=-2 (критическая точка). Из уравнения  находим стационарные точки: , . Составляем, как и выше, таблицу для числовых интервалов и устанавливаем знаки производной (можно заметить, что знаменатель всегда положителен, а потому знак производной зависит только от числителя). Определяем также значения функции в найденных точках и собираем данные в таблицу.

x

–4

-2

(-2,0)

0

+

0

Не сущ.

0

+

Повед.f(x)

-8

Не сущ.

0

Вывод

Возр.

Т макс.

Убыв.

 

Убыв.

Т. мин.

Возр.

Таким образом, x=-4 – точка локального максимума и , x=0 – точка локального минимума ().

Следует обратить внимание на то, что данный пример иллюстрирует «локальность» экстремума (в частности, оказывается, что).

Пример 4.3. Найти экстремумы функции .

Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее производная имеет вид . При этом производная не определена там, где в нуль обращается знаменатель, т.е. при x=0. Эта точка является критической. Стационарных точек нет, так как в числителе стоит постоянное число, и потому дробь не обращается в нуль. Учитывая, что знак производной совпадает со знаком , а потому и со знаком x, получаем, что слева от x=0 (там, где x<0) , а справа . Поэтому x=0 – точка минимума исходной функции, и .

4.2. Наибольшее и наименьшее значение функции одного переменного на числовом отрезке. Пусть y=f(x) – функция, определенная на отрезке [a;b]. Если f(x) непрерывна на этом отрезке, то существуют точки  и , в которых функция достигает своего максимального и минимального значений (на отрезке!). Этими точками могут быть либо внутренние критические точки (из (a;b)), либо граничные. Поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на числовом отрезке придерживаются следующего алгоритма.

1) Найти первую производную f’(x).

2) Найти стационарные и критические точки и выбрать те из них, которые попадают в отрезок [a;b].

3) Сравнить значения функции в найденных точках и на границах (т.е. в точках x=a, x=b), выбрать наибольшее и наименьшее значения. Характер экстремума не определять!

Пример 4.4. Найти наибольшее и наименьшее значения  на отрезке [1;4].

Решение. , причем производная определена всюду, критических точек нет. Чтобы найти стационарные точки, приравниваем производную к нулю: . Итак,  и - стационарные точки. При этом , а , поэтому последняя точка нас не интересует. Вычисляем значения исходной функции в выбранной точке и на концах отрезка: ; .

Сравнивая значения, получаем: , .

При решении задач практического характера полезно пользоваться следующим фактом.

Утверждение. Пусть функция  определена на открытом числовом интервале (a;b) и имеет на нем единственную стационарную точку . Если  - точка локального максимума, то ; если  - точка локального минимума, то

Пример 4.5. Предприятие выпускает некий товар в объеме, превосходящем 1 кг. Прибыль (в у.е.) зависит от объема выпущенного товара () и определяются формулой . Найти объем производства товара, при котором прибыль будет максимальна.

Решение. В силу условий задачи функция, максимум которой нас интересует, определена на интервале . Найдем производную этой функции и приравняем к нулю: . Решив квадратное уравнение, получим два корня: . Очевидно, что условию задачи удовлетворяет только первое значение (13>1, 1/3<1). Сравнив знаки производной слева и справа от точки , получим, что это точка максимума. Находим максимальное значение F(x) на заданном интервале:.

Итак, при объеме производства в 13 единиц прибыль будет максимальной и составит 1010 у.е.

На главную страницу: Решение курсовой