Пример 3.6. Найти частные производные первого порядка и выписать
дифференциал первого порядка функции
Решение. Чтобы найти 
, необходимо зафиксировать переменную y. Воспользовавшись
формулой 3¢) из Табл.1, а также (3.1)
и (3.3), получим:
В
данном случае числовой коэффициент и переменная y выступали в роли констант: во
втором слагаемом они были вынесены за скобки при дифференцировании, а третье слагаемое
от x не зависело – поэтому его производная по x равна нулю.
Аналогично
поступаем и с 
, только теперь фиксируется переменная y:
Чтобы
выписать дифференциал первого порядка, воспользуемся (3.8.):
Пример
3.7. Найти частные производные второго порядка функции 
.
Выписать 
.
Решение. Сначала
находим частные производные первого порядка. Следует обратить внимание на то,
что при фиксированном y функция представляет собой произведение двух функций,
зависящих от x, а при фиксированном x это константа, умноженная на функцию от
y. Применяя известные уже приемы дифференцирования, получаем:
.
Теперь
воспользуемся формулами (3.10) и любой из формул (3.11).
В
качестве проверки можно найти вторую смешанную производную и убедиться, что результаты
совпадают:
Чтобы
записать теперь дифференциал второго порядка в заданной точке (1;1), вычислим
значения производных в этой точке, а затем применим (3.12):
;
; 
;
.
