Решение типового варианта по математике

 Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Примеры решения задач Контрольная по математике Практикум по решению математических задач Оформить и недорого купить диплом Набережные Челны на сайте по низким ценам, гибкая система скидок.
Доказать сходимость ряда 
сходимость знакочередующийся ряд
Основные свойства преобразования Лапласа
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Дифференцирование функций
Правило Лопиталя вычисления пределов
Найти частные производные первого порядка
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Направления выпуклости графика функции одного переменного
Провести полное исследование и построить график функции
Экстремумы функции двух переменных.
Интегралы и их приложения
Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Приложения определенного интеграла

Правило Лопиталя вычисления пределов.

Если при вычислении пределов затруднительно использование эквивалентностей, то можно применить следующее утверждение.

Правило Лопиталя. Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки a, а также являются одновременно бесконечно малыми (или бесконечно большими) при . Пусть, далее,  в окрестности точки a (кроме, возможно, самой точки). Если существует , то существует и , причем .

Пример 3.5. Найти с помощью правила Лопиталя: 

а) ; б)

Решение. a) В данном случае после подстановки x=0  замечаем, что и числитель, и знаменатель дроби обращаются в нуль, т.е. мы имеем дело с неопределенностью . Однако использовать замечательные пределы и перейти к эквивалентным функциям нельзя, так как в числителе – сумма. Воспользуемся правилом Лопиталя, предварительно проверив все условия.

Неопределенность  уже отмечена. Функции, стоящие в числителе и знаменателе, дифференцируемы при всех вещественных x и  при . В силу сформулированного выше утверждения, если в этом случае существует предел отношения производных, то его значение совпадет со значением искомого предела. Предположим, что это так, и проведем вычисления:

Итак,

При решении этого примера правило Лопиталя фактически было применено трижды (в тех местах, где над знаком равенства указан вид неопределенности). При этом для обеспечения строгости рассуждений необходимо каждый раз проверять условия сформулированного выше утверждения.

Рассмотрим теперь задание б). Очевидно, что здесь вообще нет эквивалнетных функций. Кроме того, при   и . Это неопределенность вида , к которой правило Лопиталя не применяется, однако можно учесть, что если f(x) – бесконечно малая при  функция, то 1/f(x) будет бесконечно большой при . Поскольку

,

то мы приходим к неопределенности  и далее действуем так, как при решении задания а). Обе функции требуемым условиям удовлетворяют, поэтому

(учтено, что ). Итак, .

3.3. Правила дифференцирования функций двух переменных. При дифференцировании функции  по одной из независимых переменных вторая фиксируется и считается константой (это следует из определения частных производных первого порядка). Применяются уже знакомые правила (.3.1)-(3.4) и формулы из табл.1, однако при записи обязательно указывается, по какой переменной происходит дифференцирование. Так, для производной по x используются обозначения   или . Аналогично запись  обозначает производную по y.

Для полного дифференциала первого порядка функции  имеем:

 ; (3.8)

 . (3.9)

Частные производные второго порядка  определяются по формулам

 ; (3.10)

 . (3.11)

Заметим, что если исходная функция удовлетворяет некоторым дополнительным свойствам, то справедливо равенство  В этом случае говорят, что «смешанные производные второго порядка» совпадают, или «смешанная производная не зависит от порядка дифференцирования».

Справедлива формула для полного дифференциала второго порядка функции :

  (3.12)

На главную страницу: Решение курсовой