Решение типового варианта по математике

 Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Доказать сходимость ряда 
сходимость знакочередующийся ряд
Основные свойства преобразования Лапласа
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Дифференцирование функций
Правило Лопиталя вычисления пределов
Найти частные производные первого порядка
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Направления выпуклости графика функции одного переменного
Провести полное исследование и построить график функции
Экстремумы функции двух переменных.
Интегралы и их приложения
Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Приложения определенного интеграла

Дифференцирование функций

Правила дифференцирования функций одного переменного. При нахождении производных и дифференциалов функции  применяются следующие правила:

 ; (3.1)

 ; (3.2)

 ; (3.3)

 . (3.4)

Заметим, что (3.3) следует из (3.2), так как производная константы всегда равна нулю ().

Чтобы найти производную функции  в точке , необходимо сначала найти , а затем в полученное выражение подставить заданное значение.

Необходимо также знать таблицу производных основных элементарных функций. В Таблице 1 формулы приводятся как для функции независимого аргумента , так и для сложной функции .

Таблица 1

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) ,

7) 

8) ,

9) 

10) 

11) 

12) 

13) 

1¢

2¢

3¢

4¢

5¢

6¢,

7¢

8¢,

9¢

10¢

11¢

12¢

13¢

Дифференциал функции  в произвольной точке задается формулой

 , (3.5)

а в фиксированной точке формулой

 . (3.6)

Для определения производной второго порядка используем правило

 . (3.7)

Пример 3.1. Найти производную для  и выписать дифференциал этой функции.

Решение. Данную функцию можно представить в виде , где , и воспользоваться формулой 9¢) из Табл.1. Далее к числителю полученного выражения применяем (3.1), а функцию также рассматриваем как сложную и находим ее производную с помощью 4¢):

Итак, , а  (в силу (3.5)).

Пример 3.2. Найти производную функции   в точке x=2.

Решение. Функция представляет собой частное, поэтому применяем (3.4), а также формулу производной степенной функции (для  и для ):

Вычисляем производную в заданной точке, для этого подставляем в найденное выражение значение x=2:

.

Пример 3.3. Найти дифференциал функции  в произвольной точке и в точке x=p/2.

Решение. Сначала найдем первую производную исходной функции, воспользовавшись формулами 7¢), (3.4) и 2):

Далее вычисляем производную в точке x=p/2. Поскольку  и , то. В силу (3.6) .

Пример 3.4. Найти вторую производную функции .

Решение. Сначала найдем  и обязательно упростим полученное выражение:

Теперь в силу (3.7) и 1¢) получаем:

.

На главную страницу: Решение курсовой