Решение типового варианта по математике

 Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

http://australia-tour.info
Доказать сходимость ряда 
сходимость знакочередующийся ряд
Основные свойства преобразования Лапласа
Вычислить интеграл
Теория вероятностей и математическая статистика
Формула полной вероятности
Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Дифференцирование функций
Правило Лопиталя вычисления пределов
Найти частные производные первого порядка
Производная по направлению и градиент
Исследование функций
Направления выпуклости графика функции одного переменного
Провести полное исследование и построить график функции
Экстремумы функции двух переменных.
Интегралы и их приложения
Внесение под знак дифференциала и замена переменной.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Приложения определенного интеграла

Раскрытие неопределенностей вида

. В этой ситуации основная цель преобразований – выделить в числителе и знаменателе множители вида (x-a) (именно они при вычислении предела при  "обеспечивают" наличие неопределенности).

Пример 1.3. Вычислить .

Решение. Подставляя предельное значение x=3 в числитель и знаменатель, получаем, что оба выражения обращаются при этом в нуль. Стоящие в числителе и знаменателе многочлены можно разложить на множители, причем в числителе достаточно воспользоваться формулой разности квадратов, а в знаменателе необходимо предварительно найти корни соответствующего квадратного трехчлена. Следует помнить, что если  – корни квадратного трехчлена , то справедлива формула

 , (1.3)

а для трехчлена  выполняется равенство

 . (1.4)

Таким образом, имеем:

.

Пример 1.4. Вычислить

Решение. Подставляя предельное значение x=2 в числитель и знаменатель, получаем, что оба выражения обращаются в нуль. Знаменатель представляет собой «сумму кубов», поэтому при разложении его на множители получаем: . После умножения числителя и знаменателя на сопряженное числителю выражение , имеем:


При вычислении пределов тригонометрических функций применяются «замечательные пределы» (1.1) и (1.2).

Пример 1.5. Вычислить а); б); в).

Решение. В случае а) очевидно, что при   и . Чтобы применить (1.2), необходимо получить в знаменателе выражение, совпадающие с аргументом синуса. Для этого числитель и знаменатель умножаем на число «4»:

.

Однако на практике оказывается полезной теорема, согласно которой в произведении и в частном эквивалентные функции (т.е. те, для которых выполняется равенство ) можно заменять друг другом. В частности,

. (1.5)

Поэтому решение а) можно записать в следующем виде: .

В случае б) знаменатель разложим на множители как «разность квадратов», а в числителе воспользуемся одним из соотношений (1.5):

.

В задании в) необходимо сначала преобразовать числитель в произведение, используя формулу разности синусов, а потом применить эквивалентные соотношения из (1.5), учитывая, что :

Замечание. Другие примеры на вычисление пределов можно найти в [1, стр.6-9] и в [3, стр.7-18].

Классификация точек разрыва

При решении задач используются следующие определения.

Точка x=a называется точкой устранимого разрыва функции y=f(x), если выполняется одно из условий: 1) a не принадлежит области определения данной функции, но существует конечный ; 2) a принадлежит области определения данной функции, существует конечный , но .

Точка x=a называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если  не существует, но существуют конечные, различные между собой односторонние пределы   и

Точка x=a называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов ,  равен бесконечности или не существует.

При определении характера разрыва в точке x=a необходимо сначала найти . Если этот предел существует, то x=a окажется (в зависимости от значения предела) либо точкой устранимого разрыва, либо точкой разрыва второго рода. Если  не существует, то находят односторонние пределы – в зависимости от них x=a будет точкой разрыва первого или второго рода.

Пример 2.1. Найти и классифицировать точки разрыва функции .

Решение. 1) Выражения, стоящие в числителе и знаменателе, непрерывны при всех вещественных x. Однако знаменатель обращается в нуль при x=0 и x=-1, т.е. эти точки не принадлежат области определения и являются точками разрыва. Исследуем каждую из них.

2) Рассмотрим x=0. Так как , а рассматриваемая точка не принадлежит области определения, заключаем, что x=0 – точка устранимого разрыва.

3) Пусть теперь x=-1. Так как при  , а , то заключаем, что . Следовательно, x=-1 – точка разрыва второго рода.

Замечание. Другие примеры, связанные с определением характера разрыва, можно найти в [1, стр.10-11].

На главную страницу: Решение курсовой