|
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным . Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд , то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.
Признак ЛейбницаДля знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница .
Пусть{an} является числовой последовательностью, такой, что1.Тогда знакочередующиеся рядыan+1 < an для всех n;
2..
и
сходятся.
Абсолютная и условная сходимостьРяд
называется абсолютно сходящимся , если ряд
также сходится.
Если рядсходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.
Рядназывается условно сходящимся , если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Пример 1 Исследовать на сходимость ряд
.
Решение.Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем![]()
поскольку
. Следовательно, данный ряд сходится.
Пример 2 Исследовать на сходимость ряд
.
Решение.Попробуем применить признак Лейбница:Видно, что модуль общего члена не стремится к нулю при![]()
n → ∞ Поэтому данный ряд расходится.
Пример 3 Определить, является ли ряд
абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?
Решение.Применяя признак Даламбера к ряду, составленному из модулей соответствущих членов, находим![]()
Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.
Пример 4 Определить, является ли ряд
абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?
Решение.Сначала воспользуемся признаком Лейбница и найдем предел. Вычислим этот предел по правилу Лопиталя:
![]()
Таким образом, исходный ряд расходится.
Пример 5 Исследовать на сходимость ряд
Решение.Общий член данного ряда равен. Применим признак Даламбера к ряду
, составленному из модулей:
Следовательно. исходный ряд сходится абсолютно.![]()
Пример 6 Исследовать, является ли ряд
абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?
Решение.Применяя признак Лейбница, видим, что ряд является сходящимся:Рассмотрим теперь сходимость ряда![]()
, составленного из модулей соответствующих членов. Используя интегральный признак сходимости, получаем
Следовательно исходный ряд![]()
сходится условно.
Пример 7 Определить, является ли ряд
абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?
Решение.Сначала применим признак Лейбница:Следовательно, данный ряд сходится. Выясним, является ли эта сходимость абсолютной или условной. Воспользуемся предельным признаком сравнения и сравним соответствующий ряд из модулей![]()
с расходящимся гармоническим рядом
:
![]()
Поскольку ряд
, составленный из модулей, расходится, то исходный знакочередующийся ряд является условно сходящимся.
Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье Найти решение в виде ряда Фурье дифференциального уравнения
с граничными условиями
.
Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля Вычислить сумму ряда
.
Сходимость рядов. Признаки сравнения Пример Определить, сходится или расходится ряд
.
Используя комплексную форму записи, найти ряд Фурье для функции
![]()
На главную страницу: Вычисление интеграла |
|