Математика. Решение задач контрольных, курсовых заданий. Примеры

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Числовой ряд, содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным . Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд , то есть такой ряд, в котором последовательные члены имеют противоположные знаки.
Признак Лейбница
Для знакочередующихся рядом действует достаточный признак сходимости Лейбница .
Пусть {a_n} является числовой последовательностью, такой, что
1. a_n₊₁ < a_n для всех n;

2. .
Тогда знакочередующиеся ряды и сходятся.
Абсолютная и условная сходимость
Ряд называется абсолютно сходящимся , если ряд также сходится.
Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.
Ряд называется условно сходящимся , если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Пример 1 Исследовать на сходимость ряд .
Решение.
Применим достаточный признак Лейбница для знакочередующихся рядов. Получаем

поскольку . Следовательно, данный ряд сходится.
Пример 2 Исследовать на сходимость ряд .
Решение.
Попробуем применить признак Лейбница:

Видно, что модуль общего члена не стремится к нулю при n → ∞
Поэтому данный ряд расходится.
Пример 3 Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?
Решение.
Применяя признак Даламбера к ряду, составленному из модулей соответствущих членов, находим

Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.
   Пример 4 Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?
Решение.
Сначала воспользуемся признаком Лейбница и найдем предел . Вычислим этот предел по правилу Лопиталя:

Таким образом, исходный ряд расходится.

Пример 5 Исследовать на сходимость ряд

Решение.
Общий член данного ряда равен . Применим признак Даламбера к ряду , составленному из модулей:

Следовательно. исходный ряд сходится абсолютно.
   Пример 6 Исследовать, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?
Решение.
Применяя признак Лейбница, видим, что ряд является сходящимся:

Рассмотрим теперь сходимость ряда , составленного из модулей соответствующих членов. Используя интегральный признак сходимости, получаем

Следовательно исходный ряд сходится условно.
Пример 7 Определить, является ли ряд абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся?
Решение.
Сначала применим признак Лейбница:

Следовательно, данный ряд сходится. Выясним, является ли эта сходимость абсолютной или условной. Воспользуемся предельным признаком сравнения и сравним соответствующий ряд из модулей с расходящимся гармоническим рядом :

Поскольку ряд , составленный из модулей, расходится, то исходный знакочередующийся ряд является условно сходящимся.
Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов Фурье Найти решение в виде ряда Фурье дифференциального уравнения с граничными условиями .
Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля Вычислить сумму ряда .
Сходимость рядов. Признаки сравнения Пример Определить, сходится или расходится ряд .
Используя комплексную форму записи, найти ряд Фурье для функции

На главную страницу: Вычисление интеграла