Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Знакопеременные ряды. Вычислить сумму ряда Контрольная по математике


Математика. Решение задач контрольных, курсовых заданий. Примеры

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность
типа или .

Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.


Это правило впервые упоминалось в книге по дифференциальному исчислению, опубликованной в 1696 (!) году французским математиком Гийомом Лопиталем (1661- 1704).
Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа . Первые две неопределенности можно свести к типу или с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности сводятся к типу с помощью соотношения

Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.

Пример 1 Вычислить предел .


Решение.
Дифференцируя числитель и знаменатель, находим значение предела:

     

Пример 2 Вычислить предел .


Решение.
Поскольку прямая подстановка приводит к неопределенности типа , применяем правило Лопиталя.
     

Пример 3 Вычислить предел .


Решение.
Здесь мы имеем дело с неопределенностью типа . После простых преобразований, получаем
     

Пример 4 Найти предел .


Решение.
Используя правило Лопиталя, можно записать
     

Пример 5 Найти предел .


Решение.
Здесь мы встречаемся с неопределенностью типа . Обозначим . После логарифмирования получаем
     
Далее, по правилу Лопиталя, находим
     
Соответственно,
     

Пример 6 Найти предел .


Решение.
Предел содержит неопределенность типа . Пусть . Тогда
     
По правилу Лопиталя получаем
     
Следовательно,
     

Пример 7 Вычислить предел .


Решение.
Обозначим . Возьмем логарифм от обеих частей:
     
Найдем предел ln y.
     
Тогда
     

   Пример 8 Вычислить предел .


Решение.
Мы имеем здесь неопределенность типа . Пусть . Тогда после логарифмирования получаем
     
Используем правило Лопиталя дважды:
     
Следовательно,
     

Пример 9 Найти предел .


Решение.
Подстановка приводит к неопределенности типа . Обозначим . Прологарифмируем обе части этого равенства.
     
Применяя правило Лопиталя, получаем
     
Потенцируя, получаем окончательный ответ:
     

Пример 10 Найти предел .


Решение.
Предел имеет неопределенность типа . Применяем правило Лопиталя n раз.
     

   Пример 11 Вычислить предел .


Решение.
В соответствии с правилом Лопиталя дифференцируем числитель и знаменатель данной дроби несколько раз, пока не исчезнет неопределенность.
     

Пример 12 Вычислить предел .


Решение.
Здесь мы имеем дело с неопределенностью типа . Пусть . Тогда
     
Предел равен
     
Как видно, после двукратного дифференцирования неопределенность еще не устранена. Поэтому дифференцируем числитель и знаменатель еще раз.
     
Отсюда находим
     

Число е

Число e выражается через предел следующим образом:

Это число является трансцендентным и приблизительно равно 2,718281828... (2.7, затем два раза год рождения Л.Н.Толстого). Выполнив подстановку , где , получим альтернативную формулу для данного предела:
Здесь мы имеем дело со степенными выражениями, когда и основание и степень стремятся к числу a (или к бесконечности). Во многих случаях такие пределы удобно вычислять, предварительно логарифмируя функцию под знаком предела.

Пример 1 Вычислить предел .


Решение.
     

Пример 2 Вычислить предел .


Решение.
Учитывая, что предел произведения нескольких функций равен произведению пределов от этих функций, получаем
     

Пример 3 Вычислить предел .


Решение.
Сделаем замену: , так что x = 6y и y → ∞, если x → ∞. В результате получаем
     

Пример 4 Вычислить предел .


Решение.

     

Пример 5 Вычислить предел .


Решение.
Сначала преобразуем основание функции:
     
Введем новую переменную: . Если , то и
     
В результате замены получаем
     

Пример 6 Вычислить предел .


Решение.
Предварительно преобразуем основание:
     
Пусть . Тогда
     
Теперь можно найти предел:
     

Пример 7 Вычислить предел .


Решение.
Преобразуем предел следующим образом:
     
Сделаем замену:
     
Здесь y → 0 когда x → ∞. Тогда предел равен
     

Пример 8 Найти предел .


Решение.
Пусть . Легко видеть, что при . Тогда
     
Сделаем еще одну замену:
     
Следовательно, предел равен:
     

Пример 9 Найти предел .


Решение.
Данный предел можно представить в следующей форме:
     
После взятия логарифма получаем
     
Заметим, что . Кроме того, при , поэтому предельный переход во втором пределе можно заменить на . Это приводит к следующему выражению:
     
Учитывая, что , получаем
     
Следовательно, .

Пример 10 Найти предел .


Решение.
Перепишем предел в следующем виде:
     
Прологарифмируем левую и правую части полученного выражения.
     
Видно, что . Тогда второй предел равен e. В результате получаем
     

Окончательный ответ: .

Свойства пределов Найти предел .

Определение производной функции Связь между дифференцируемостью и существованием производной функции

Геометрический и физический смысл производной и дифференциала Пример. Найти мгновенную скорость материальной точки, закон движения которой описывается уравнением , в момент времени t0 = 2.

Условие существования производственной сложной функции Пример. Вычислить производную функции .

 


На главную страницу: Вычисление интеграла