Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Srnsk.ru

Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Знакопеременные ряды. Вычислить сумму ряда Контрольная по математике


Математика. Решение задач контрольных, курсовых заданий. Примеры

Геометрическая прогрессия

Последовательность чисел {an} называется геометрической прогрессией, если отношение последующего члена к предыдущему равно одному и тому же постоянному числу q, называемому знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, для всех членов геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0 и q ≠ 1.

Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:

Сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется выражением
Говорят, что бесконечная геометрическая прогрессия сходится, если предел существует и конечен.
В противном случае прогрессия расходится.

Пусть представляет собой бесконечный ряд геометрической прогрессии. Данный ряд сходится к , если знаменатель |q| < 1, и расходится, если знаменатель |q| > 1

.

Пример 1 Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ...


Решение.
Здесь a1 = 3 и q = 2. Для n = 8 получаем
     

Пример 2 Найти сумму ряда .


Решение.
Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем q = − 0,37. Следовательно, прогрессия сходится и ее сумма равна

     

Пример 3 Найти сумму ряда

     

Решение.
Здесь мы имеем дело с конечной геометрической прогрессией, знаменатель которой равен . Поскольку сумма геометрической прогрессии выражается формулой
     
то получаем следующий результат:

     

Пример 4 Выразить бесконечную периодическую дробь 0,131313... рациональным числом.


Решение.
Запишем периодическую дробь в следующем виде:
     
Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем , получаем
     

Пример 5 Показать, что

     
при условии x > 1.

Решение.
Очевидно, что если x > 1, то . Тогда левая часть в заданном выражении представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Используя формулу , левую часть можно записать в виде
     
что доказывает исходное соотношение.

Пример 6 Решить уравнение

     

Решение.
Запишем левую часть уравнения в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
     
Тогда уравнение принимает вид
     
Находим корни квадратного уравнения:
     
Поскольку |x| < 1, то решением будет .

Пример 7 Известно, что второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равен 21, а сумма равна 112. Найти первый член и знаменатель прогрессии.


Решение.
Используем формулу бесконечно убывающей геометрической прогрессии
     
Так как второй член прогрессии равен , то получаем следующую систему уравнений для определения a1 и q:
     
Решая систему, получаем квадратное уравнение:
     
Это уравнение имеет два корня:
     
Для каждого знаменателя q найдем соответствующие первые члены:
     
Таким образом, задача имеет два решения:

     

Определение предела функции Используя - определение предела, показать что .

Точки разрыва функции Пример Исследовать функцию на непрерывность.

Раскрытие неопределенностей Вычислить предел .

Бесконечные последовательности Пример Записать общую формулу для n-го члена an числовой последовательности и определить ее предел (если он существует).    

 


На главную страницу: Вычисление интеграла