Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Знакопеременные ряды. Вычислить сумму ряда Контрольная по математике


Математика. Решение задач контрольных, курсовых заданий. Примеры

Тройные интегралы в декартовых координатах

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Рассмотрим случай, когда область интегрирования U является элементарной относительно оси Oz, т.е. любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области U не более, чем в двух точках. Пусть область U ограничена снизу поверхностью z = z1(x,y), а сверху - поверхностью z = z2(x,y) (рисунок 1). Проекцией тела U на плоскость Oxy является область D (рисунок 2). Будем предполагать, что функции z1(x,y) и z2(x,y) непрерывны в области D.

Рис.1
Рис.2
Тогда для любой непрерывной в области U функции f (x,y,z) можно записать соотношение
Таким образом, вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла, в котором подынтегральной функцией является однократный интеграл. В рассмотренном случае сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z, а затем - двойной интеграл в области D по переменным x и y.

Если область
D(x,y) является областью типа I (смотрите Повторные интегралы), т.е. ограничена линиями
где
f1(x), f2(x) - непрерывные функции в интервале [a,b] и f1(x) ≤ f2(x), то, записывая двойной интеграл в виде повторного, получаем
В другом случае, когда область
D(x,y) относится к типу II (является элементарной относительно оси Ox) и ограничена линиями
где
φ1(y), φ2(y) - непрерывные на отрезке [c,d] функции, причем φ1(y) ≤ φ2(y), тройной интеграл представляется в виде
Формулы (1) и (2) называются формулами сведения тройного интеграла к повторному.

В частном случае, когда область интегрирования U представляет собой прямоугольный параллелепипед , тройной интеграл вычисляется по формуле
Если исходная область интегрирования U более сложная, чем рассмотренная выше, то ее нужно разбить на конечное число более простых областей, в которых уже можно вычислить тройные интегралы методом сведения к повторным.

   Пример 1 Вычислить интеграл

     

Решение.
Найдем последовательно все три интеграла:
     

Пример 2 Вычислить интеграл

     
где область U расположена в первом октанте ниже плоскости
3x + 2y + z = 6.

Решение.
Записывая уравнение плоскости
3x + 2y + z = 6 в отрезках:
     
изобразим область интегрирования U (рисунок 3).
Рис.3
Рис.4
Пределы интегрирования по z изменяются от
z = 0 до z = 6 − 3x − 2y. Рассматривая проекцию D в плоскости Oxy, находим, что переменная y изменяется от y = 0 до (рисунок 4). При этом переменная x "пробегает" от 0 до 2.

Итак, тройной интеграл выражается через повторный в виде
     
Вычисляем последовательно все три интеграла и находим ответ:

     

Пример 3 Вычислить тройной интеграл

     
где область U (рисунок 5) ограничена поверхностями
     
Рис.5
Рис.6

Решение.
Проекция области U на плоскость Оxy имеет вид, показанный на рисунке 6. Учитывая это, найдем соответствующие повторные интегралы:
     

Пример 4 Выразить тройной интеграл через повторные интегралы шестью различными способами. Область U расположена в первом октанте и ограничена цилиндром x2 + z2 = 4 и плоскостью y = 3 (рисунок 7). Найти значение интеграла.

Рис.7
Рис.8

Решение.
Если порядок интегрирования имеет вид "z-y-x", то повторный интеграл выглядит как
     
Аналогично записывается повторный интеграл для последовательности интегрирования
"z-x-y":
     
Теперь рассмотрим случай
"x-y-z", т.е. когда первый внутренний интеграл берется по переменной x.
Тогда
     
Поскольку проекция тела на плоскость Oyz представляет собой прямоугольник (рисунок 8), то меняя порядок интегрирования по y и z, получаем
     
Наконец повторный интеграл при интегрировании в порядке
"y-x-z" (начиная с внутреннего интеграла) имеет вид:
     
Последний шестой вариант записывается в виде:
     
Мы можем использовать любой из шести повторных интегралов чтобы вычислить значение тройного интеграла. Например, используя последний интеграл, получаем:
     
Сделаем замену:
     
Находим окончательный ответ:
     

Нетрудно проверить, что данное значение в точности равно 1/4 объема цилиндра, по которому проводилось интегрирование.

Тригонометрические и гиперболические подстановки Вычислить интеграл .

Тройные интегралы в цилиндрических координатах Вычислить интеграл       где область U ограничена поверхностью x2 + y2 ≤ 1 и плоскостями z = 0, z = 1

Тройные интегралы в сферических координатах Пример Найти интеграл , где область интегрирования U − шар, заданный уравнением x2 + y2 + z2 = 25.


На главную страницу: Вычисление интеграла