Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Знакопеременные ряды. Вычислить сумму ряда Контрольная по математике купить бетон сдоставкой в рощино в Туле


Математика. Решение задач контрольных, курсовых заданий. Примеры

Физические приложения тройных интегралов

Масса и статические моменты тела Пусть тело занимает объем U и его объемная плотность в точке M(x,y,z) задана функцией ρ(x,y,z). Тогда масса тела m вычисляется с помощью тройного интеграла:
Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz выражаются формулами
Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам:
Если тело является однородным с плотностью ρ(x,y,z) = 1 для точек M(x,y,z) в области U, то центр тяжести тела зависит только от геометрии тела и называется центроидом.

Моменты инерции тела
Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz определяются выражениями
а моменты инерции тела относительно координатных осей Ox, Oy, Oz вычисляются по формулам
Как видно, справедливы соотношения
Моментом инерции тела относительно начала координат называется интеграл
Момент инерции относительно начала координат можно выразить через моменты инерции относительно координатных плоскостей:

Тензор инерции
Используя рассмотренные выше 6 чисел Ix, Iy, Iz, Ixy, Ixz, Iyz, можно составить так называемую матрицу инерции или тензор инерции тела:
Данный тензор является симметричным, и, следовательно, его можно привести к диагональному виду при определенном выборе осей Ox', Oy', Oz'. Значения диагональных элементов (после приведения тензора к диагональному виду) называются главными моментами инерции, а указанные направления − собственными векторами или главными осями инерции.

Если тело вращается вокруг оси, не совпадаюшей с главной осью инерции, то оно будет испытывать вибрации при высоких скоростях вращения. Поэтому, при конструировании таких устройств необходимо, чтобы ось вращения совпадала с одной из главных осей инерции. Например, при замене шин автомобиля проводится их балансировка: небольшие грузики добавляются к колесам, чтобы обеспечить совпадение оси вращения с главной осью инерции и исключить вибрации.

Гравитационный потенциал и сила тяготения
Ньютоновым потенциалом тела в точке P(x,y,z) называется интеграл
где ρ(ξ,η,ζ) − плотность тела, и .

Интегрирование выполняется по всему объему тела. Зная потенциал, можно вычислить силу притяжения материальной точки массы m и заданного распределенного тела с плотностью ρ(ξ,η,ζ) по формуле
где G − гравитационная постоянная.

Пример 1 Найти центроид однородного полушара радиусом R.


Решение.
Введем систему координат таким образом, чтобы полушар был расположен при z ≥ 0 и имел центр в начале координат (рисунок 1).
Рис.1
Рис.2
В данной системе координат будем искать координаты центроида (центра тяжести) тела.

Очевидно, что в силу симметрии
     
Вычислим координату центра тяжести по формуле
     
Поскольку полушар однородный, то полагаем ρ(x,y,z) = ρ0. Тогда
     
В знаменателе через V обозначен объем полушара, равный
     
Остается вычислить тройной интеграл . Для этого перейдем к сферическим координатам. При этом радиальную координату будем обозначать через r − чтобы не путать с плотностью ρ. Получаем:
     
Таким образом, координата центра тяжести равна
     

Пример 2 Определить массу и координаты центра тяжести единичного куба с плотностью ρ(x,y,z) = x + 2y + 3z
(рисунок 2).


Решение.
Сначала вычислим массу куба:
     
Теперь вычислим статические моменты Mxy, Mxz, Myz.
     
Аналогично находим моменты Mxz и Myz:
     
     
Вычисляем координаты центра тяжести куба:

     

Найти массу шара радиуса R, плотность которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

Теорема Стокса Пример Показать, что криволинейный интеграл равен 0 вдоль любого замкнутого контура C.

Поверхностные интегралы первого Вычислить поверхностный интеграл , где S − часть плоскости , лежащая в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).

Поверхностные интегралы второго рода Вычислить поверхностный интеграл от векторного поля по внутренне ориентированной поверхности S, заданной уравнением , где .


На главную страницу: Вычисление интеграла