Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Промокод связной ру покупайте со скидками до 60 с картой связной.

Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Знакопеременные ряды. Вычислить сумму ряда Контрольная по математике


Математика. Решение задач контрольных, курсовых заданий. Примеры

Криволинейные интегралы первого рода

Определение
Пусть кривая C описывается векторной функцией , где переменная s представляет собой длину дуги кривой (рисунок 1).

Если на кривой C определена скалярная функция F, то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной функции F вдоль кривой C и обозначается как
Криволинейный интеграл существует, если функция F непрерывна на кривой C.
Рис.1
Рис.2
Свойства криволинейного интеграла первого рода
Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами:
  1. Интеграл не зависит от ориентации кривой;

  2. Пусть кривая C1 начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C2 начинается в точке B и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться кривая C1 U C2, которая проходит от A к B вдоль кривой C1 и затем от B к D вдоль кривой C2. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение
  3. Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением и скалярная функция F непрерывна на кривой C, то
  4. Если C является гладкой кривой в плоскости Oxy, заданной уравнением , то
  5. Если гладкая кривая C в плоскости Oxy определена уравнением , то
  6. В полярных координатах интеграл выражается формулой
    где кривая C задана в полярных координатах функцией .

Пример 1 Найти интеграл вдоль отрезка прямой y = x от начала координат до точки (2,2) (рисунок 3).


Решение.
     
Рис.3
Рис.4

 

Пример 2 Вычислить интеграл , где C − дуга окружности .


Решение.
Запишем дифференциал дуги кривой:
     
Тогда, применяя формулу
     
в плоскости Oxy, получаем

     

Пример 3 Вычислить интеграл , где C − кривая, заданная уравнением .


Решение.
Используем формулу
     
Здесь
     
Следовательно,
     

   Пример 4 Вычислить интеграл , где C является отрезком прямой от точки O(0,0) до A(1,2) (рисунок 4 выше).


Решение.
Найдем сначала уравнение отрезка OA.
     
Применяя формулу
     
находим искомый криволинейный интеграл.

     

Пример 5 Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .


Решение.
Применяя формулу
     
можно записать
     

Пример 6 Вычислить криволинейный интеграл , где кривая C − отрезок прямой от точки (0,−2) до (4,0) (рисунок 5).


Решение.
Найдем уравнение отрезка AB.
     
По формуле
     
находим данный интеграл
     
Рис.5
Рис.6

 

Пример 7 Найти криволинейный интеграл , где кривая C является дугой эллипса , лежащей в первом квадранте (рисунок 6).


Решение.
Запишем уравнение эллипса в параметрической форме.
     
Диапазон изменений t для первого квадранта равен . Следовательно, по формуле
     
заданный интеграл преобразуется следующим образом
     
Сделаем замену. Положим . Тогда
     
Уточним пределы интегрирования. Если t = 0, то u = 0, а при получаем u = a. В результате интеграл становится равным
     
Для вычисления полученного интеграла удобно сделать еще одну замену переменной.
     
Если u = 0, то , и соответственно, если u = a, то . Таким образом,
     

Двойные интегралы вычисляются, как правило, с помощью повторных интегралов. Однако переход от двойных к повторным интегралам возможен не для произвольной области интегрирования R, а для областей определенного типа. Введем понятия областей интегрирования типа I и II.

Криволинейные интегралы второго рода Пример Вычислить интеграл , где кривая C задана параметрически в виде .

Теорема Остроградского-Гаусса Вычислить поверхностный интеграл , где S − внешне ориентированная поверхность сферы, заданная уравнением .

Независимость криволинейных интегралов от пути интегрирования Пример Вычислить криволинейный интеграл для двух путей интегрирования:


На главную страницу: Вычисление интеграла