эротический масажный салон

Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Знакопеременные ряды. Вычислить сумму ряда Контрольная по математике


Математика. Решение задач контрольных, курсовых заданий. Примеры

Интегрирование гиперболических функций

Шесть основных гиперболических функций определяются следующим образом:

  
  
  
Наиболее важные формулы дифференцирования и интегрирования гиперболических функций имеют вид:
  
  
  
  
  
  
Приведем еще несколько полезных соотношений:



  • Если подынтегральное выражение содержит гиперболическую функцию, то такой интеграл можно свести к интегрированию рациональной функции с помощью подстановки .
    Пример 1 Вычислить интеграл .

    Решение.
    Сделаем подстановку u = 2 + 3sh x, du = 3ch xdx. Тогда . Следовательно, интеграл равен
         

    Пример 2 Вычислить интеграл .


    Решение.
    Поскольку , и, следовательно, , интеграл можно переписать в виде
         
    Делая замену u = ch x, du = sh xdx, получаем

         

    Пример 3 Вычислить .


    Решение.
    Используем интегрирование по частям: . Пусть . Тогда . В результате находим интеграл
         

    Пример 4 Вычислить интеграл .


    Решение.
    Так как , то интеграл равен
         

    Пример 5 Найти интеграл .


    Решение.
    По определению, . Подставляя это в интеграл, получаем
         

      Пример 6 Найти интеграл .


    Решение.
    По определению, и . Следовательно,
         
    Сделаем замену u = e x, du = e xdx и вычислим искомый интеграл.
         

      Пример 7 Вычислить интеграл .


    Решение.
    Подставив формулы и , получаем
         

    Пример 8 Вычислить интеграл .


    Решение.
    Интегрируем по частям. Полагаем
         
    Интеграл принимает вид
         
    Применим интегрирование по частям еще раз. Теперь полагаем
         
    Получаем
         
    Решая полученное уравнение относительно , находим ответ

         

    Интегрирование иррациональных функций Вычислить интеграл .

    Пример Найти интеграл . Решение. Сделаем подстановку:      

    Интегрирование рациональных функций Вычислить интеграл .

    Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций В данном разделе мы рассмотрим 8 специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.


    На главную страницу: Вычисление интеграла