Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Контрольная по математике Элементы линейной алгебры Векторная алгебра Математический анализ Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Вычислить двойной интеграл Двойные интегралы в прямоугольной области Интегрирование по частям

Математика. Решение задач контрольных, курсовых заданий. Примеры

Векторная алгебра и аналитическая геометрия

Векторы. Основные понятия

Вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор , , , , AB, a (А – начало вектора, В – его конец).

Нулевым вектором (обозначается ) называется вектор, начало и конец которого совпадают.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или модулем, или абсолютной величиной (обозначается , ).

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых (обозначают , а также , если векторы сонаправлены, и , если они противоположно направлены).

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Два вектора называются равными, если они сонаправлены ( ) и имеют равные длины ( ). Обозначают .

Для каждого вектора , отличного от нулевого вектора, существует противоположный вектор, который обозначается  и удовлетворяет условиям: , .

 

Линейные операции над векторами

Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Сложение векторов. Пусть  и  – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку О и построим вектор ; затем от точки А отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается  (рис. 1).

 

 

Рис. 1

Ту же сумму можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы  и . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОАСВ. Вектор  – диагональ параллелограмма – является суммой векторов  и  (рис. 2).

 

Рис. 2

Понятие суммы можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых (рис. 3).

 

Рис. 3

Вычитание векторов. Разностью  векторов  и  называется такой вектор , который в сумме с вектором  дает вектор :  Û .

Если векторы  и  привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (рис. 4).

 

Рис. 4

Таким образом, если на векторах  и , отложенных из общей точки О, построить параллелограмм ОАСВ, то вектор , совпадающий с одной диагональю, равен сумме , а вектор , совпадающий с другой диагональю, – разности  (рис. 5).

 

Рис. 5

Умножение вектора на число. Произведением вектора  на действительное число  называется вектор  (обозначают ), определяемый следующими условиями:

1)     ,

2)      при  и  при .

Очевидно, что при   .

Построим, например, векторы  и  для заданного вектора  (рис. 6).

Рис. 6

Из определения следует: два вектора  и  коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство :

 (2.1)

Свойства линейных операций:

1)     ;

2)     ;

3)     ; ;

4)     ;

5)     ;

6)     ;

7)     ; ;

Пусть дан вектор . Ортом вектора  (обозначается ) называется вектор единичной длины, сонаправленный с вектором .

Очевидно, для любого вектора .

 

. Проекция вектора на ось

Углом между двумя ненулевыми векторами  и  называется наименьший угол ( ), на который надо повернуть один из векторов до его совпадения со вторым. Предварительно нужно привести векторы к общему началу О (рис. 7).

Рис. 7

Под углом между вектором  и осью  понимают угол между векторами  и  (рис. 8).

Рис. 8

Пусть  – некоторая ось, а  – вектор, произвольно распо-ложенный в пространстве. Обозначим  и  – проекции на ось  соответственно начала А и конца В этого вектора (рис. 9). Вектор называется составляющей вектора  по оси .

 

Рис. 9

Проекцией вектора  на ось  (обозначается пр ) называется длина его составляющей  по этой оси, взятая со знаком «плюс», если , и со знаком «минус», если .

Очевидно, что пр , если вектор  образует острый угол с осью ; пр , если этот угол тупой; пр , если .

Если известны координаты точек  и  на оси: , , то пр .

Нетрудно доказать свойства проекций:

1)     Равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

2)     пр пр пр .

3)     пр aпр , .

4)     пр , где  – угол между вектором и осью.

Заметим, что проекция вектора на ось и его составляющая связаны соотношением сост пр .

Пример 1. При каком условии ?

Решение. Отнесем векторы  и  к общему началу О и построим на них параллелограмм (рис.5). Тогда  – длина диагонали ОС этого параллелограмма, а  – длина диагонали ВА. Диагонали параллелограмма равны, если этот параллелограмм – прямоугольник. Следовательно, , если .

Пример 2. В равнобедренной трапеции ОАСВ (рис. 10) , ОВ=ВС=СА=2, M и N – середины сторон ВС и АС. Выразить векторы , ,  и  через  и  – орты векторов  и .

Рис. 10

Решение. Проведем , , . В , тогда  и . – параллело-грамм, следовательно, ;

;

; .

Пример 3. Пусть ,  и  – единичные векторы, составляющие с данной осью  соответственно углы , , . Найти проекцию на ось  вектора .

Решение. Согласно свойствам 2, 3, 4 проекций  Учитывая, что , , , , получим: .

Координаты вектора

Смешанное произведение векторов

Угол между двумя прямыми

Общее уравнение кривой второго порядка

Неполные уравнения плоскостей

Поверхности второго порядка


На главную страницу: Решение задач по математике