Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

http://prodvigaeff.ru/ частный вебмастер создание и продвижение сайтов в москве.
Контрольная по математике Элементы линейной алгебры Векторная алгебра Математический анализ Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Вычислить двойной интеграл Двойные интегралы в прямоугольной области Интегрирование по частям

Математика. Решение задач контрольных, курсовых заданий. Примеры

Двойные интегралы в прямоугольной области

Пусть область интегрирования R представляет собой прямоугольник . Тогда двойной интеграл в такой области выражается через повторный интеграл в следующем виде:

В данном случае область интегрирования R относится одновременно к типу I и II, так что у нас есть возможность выбирать, по какой переменной (x или y) начинать интегрировать функцию f (x,y). Обычно удобнее начинать с более простого интеграла.

В частном случае, когда подынтегральная функция  f (x,y) "расщепляется" на произведение f (x)g(y), двойной интеграл равен произведению двух определенных интегралов:

Пример 1 Вычислить двойной интеграл в области .


Решение.
Как видно, подынтегральная функция  f (x,y) представляет собой произведение f (x)g(y). Следовательно, интеграл равен
     

Пример 2 Вычислить двойной интеграл , заданный в области .


Решение.
Поскольку функция  f (x,y) представляет собой произведение f (x)g(y), интеграл равен
     

Пример 3 Вычислить интеграл , заданный в области .


Решение.
Выражая двойной интеграл через повторный (в котором внутренний интеграл зависит от x), получаем
     

Пример 4 Вычислить интеграл в области .


Решение.
В данном случае также удобно сначала проинтегрировать по x и затем по y.
     

Пример 5 Вычислить интеграл , заданный в области .


Решение.
Выразим двойной интеграл через повторный. Сначала проинтегрируем по x, затем по y.
     
Мы можем поменять порядок интегрирования. Результат, разумеется, не изменится.
     

 

   Геометрические приложения двойных интегралов

Площадь плоской фигуры
Если f (x,y) = 1 в интеграле , то двойной интеграл равен площади области интегрирования R.

Площадь области типа I (элементарной относительно оси Оy) (рисунок 1) выражается через повторный интеграл в виде
Аналогично, площадь области типа II (элементарной относительно оси Оx) (рисунок 2) описывается формулой
Рис.1
Рис.2
Объем тела
Если f (x,y) > 0 в области интегрирования R, то объем цилиндрического тела с основанием R, ограниченного сверху поверхностью z = f (x,y), выражается формулой
В случае, когда R является областью типа I, ограниченной линиями , объем тела равен
Для области R типа II, ограниченной графиками функций , объем соответственно равен
Если в области R выполняется неравенство , то объем цилиндрического тела между поверхностями z1 = f (x,y) и z2 = g (x,y) с основанием R равен
Площадь поверхности
Предположим, что поверхность задана функцией z = f (x,y), имеющей область определения R. Тогда площадь такой поверхности над областью z определяется формулой
при условии, что частные производные и непрерывны всюду в области R.

Площадь и объем в полярных координатах
Пусть S является областью, ограниченной линиями (рисунок 3). Тогда площадь этой области определяется формулой
Рис.3
Объем тела, ограниченного сверху поверхностью с основанием S, выражается в полярных координатах в виде

Пример 1 Найти площадь области R, ограниченной гиперболами и вертикальными прямыми .


Решение.
Область R схематически показана на рисунке 4. Используя формулу для площади области I типа
     
получаем
     
Рис.4
Рис.5

Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой .

Пример Вычислить площадь области R, ограниченной линиями .

Пример 7 Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением .

Геометрические приложения криволинейных интегралов Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

  • Длина кривой; Найти длину кривой при условии .
  • Площадь области, ограниченной замкнутой кривой;
  • Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси.


На главную страницу: Решение задач по математике