Контрольная по математике Элементы линейной алгебры Векторная алгебра Математический анализ Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Вычислить двойной интеграл Двойные интегралы в прямоугольной области Интегрирование по частям

Математика. Решение задач контрольных, курсовых заданий. Примеры

Двойные интегралы в прямоугольной области

Пусть область интегрирования R представляет собой прямоугольник . Тогда двойной интеграл в такой области выражается через повторный интеграл в следующем виде:

В данном случае область интегрирования R относится одновременно к типу I и II, так что у нас есть возможность выбирать, по какой переменной (x или y) начинать интегрировать функцию f (x,y). Обычно удобнее начинать с более простого интеграла.

В частном случае, когда подынтегральная функция  f (x,y) "расщепляется" на произведение f (x)g(y), двойной интеграл равен произведению двух определенных интегралов:

Пример 1 Вычислить двойной интеграл в области .


Решение.
Как видно, подынтегральная функция  f (x,y) представляет собой произведение f (x)g(y). Следовательно, интеграл равен
     

Пример 2 Вычислить двойной интеграл , заданный в области .


Решение.
Поскольку функция  f (x,y) представляет собой произведение f (x)g(y), интеграл равен
     

Пример 3 Вычислить интеграл , заданный в области .


Решение.
Выражая двойной интеграл через повторный (в котором внутренний интеграл зависит от x), получаем
     

Пример 4 Вычислить интеграл в области .


Решение.
В данном случае также удобно сначала проинтегрировать по x и затем по y.
     

Пример 5 Вычислить интеграл , заданный в области .


Решение.
Выразим двойной интеграл через повторный. Сначала проинтегрируем по x, затем по y.
     
Мы можем поменять порядок интегрирования. Результат, разумеется, не изменится.
     

 

   Геометрические приложения двойных интегралов

Площадь плоской фигуры
Если f (x,y) = 1 в интеграле , то двойной интеграл равен площади области интегрирования R.

Площадь области типа I (элементарной относительно оси Оy) (рисунок 1) выражается через повторный интеграл в виде
Аналогично, площадь области типа II (элементарной относительно оси Оx) (рисунок 2) описывается формулой
Рис.1
Рис.2
Объем тела
Если f (x,y) > 0 в области интегрирования R, то объем цилиндрического тела с основанием R, ограниченного сверху поверхностью z = f (x,y), выражается формулой
В случае, когда R является областью типа I, ограниченной линиями , объем тела равен
Для области R типа II, ограниченной графиками функций , объем соответственно равен
Если в области R выполняется неравенство , то объем цилиндрического тела между поверхностями z1 = f (x,y) и z2 = g (x,y) с основанием R равен
Площадь поверхности
Предположим, что поверхность задана функцией z = f (x,y), имеющей область определения R. Тогда площадь такой поверхности над областью z определяется формулой
при условии, что частные производные и непрерывны всюду в области R.

Площадь и объем в полярных координатах
Пусть S является областью, ограниченной линиями (рисунок 3). Тогда площадь этой области определяется формулой
Рис.3
Объем тела, ограниченного сверху поверхностью с основанием S, выражается в полярных координатах в виде

Пример 1 Найти площадь области R, ограниченной гиперболами и вертикальными прямыми .


Решение.
Область R схематически показана на рисунке 4. Используя формулу для площади области I типа
     
получаем
     
Рис.4
Рис.5

Найти интеграл , где R ограничена прямой и параболой .

Пример Вычислить площадь области R, ограниченной линиями .

Пример 7 Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением .

Геометрические приложения криволинейных интегралов Криволинейные интегралы имеют многочисленные приложения в математике, физике и прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

  • Длина кривой; Найти длину кривой при условии .
  • Площадь области, ограниченной замкнутой кривой;
  • Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно некоторой оси.


На главную страницу: Решение задач по математике