Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Контрольная по математике Элементы линейной алгебры Векторная алгебра Математический анализ Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Вычислить двойной интеграл Двойные интегралы в прямоугольной области Интегрирование по частям

Математика. Решение задач контрольных, курсовых заданий. Примеры

Пример 2 Вычислить двойной интеграл

, в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями .


Решение.
Область интегрирования R имеет вид неправильного треугольника и показана на рисунке 3. Чтобы упростить ее, введем новые переменные: . Выразим x, y через u, v и определим образ области интегрирования S в новой системе координат. Легко видеть, что
     
Рис.3
Рис.4
Заметим, что
     
Следовательно,
     
Таким образом, мы получаем
     
Если , то . Соответственно, если , то . Область S имеет вид прямоугольного треугольника (рисунок 4 выше).

Уравнение стороны можно переписать в виде
     
Найдем якобиан.
     
Следовательно, и двойной интеграл становится равным

     

   Пример 3

Вычислить интеграл , где область R ограничена параболами и гиперболами .


Решение.
Область R схематически показана на рисунке 5.
Рис.5
Для упрощения области R сделаем замену переменных.
     
Образ S области R определяется следующим образом:
     
Как видно, образ S является прямоугольником. Для нахождения якобиана выразим переменные x, y через u, v.
     
Отсюда следует
     
Находим якобиан данного преобразования.
     
Соотношение между дифференциалами имеет вид
     
Теперь легко найти искомый интеграл:

     

  Пример 4 Вычислить интеграл , где область R ограничена прямыми .


Решение.
Область интегрирования R имеет форму параллелограмма и показана на рисунке 6.
Рис.6
Рис.7
Сделаем следующую замену переменных:
     
Цель этой замены − упростить область интегрирования R.
Найдем образ S области R в новых координатах u, v.
     
Из рисунка 7 видно, что область S представляет собой прямоугольник. Вычислим якобиан.
     
так что
     
Теперь можно вычислить двойной интеграл.

     

Замена переменных в тройных интегралах При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Найти объем области U, заданной неравенствами

Найти площадь треугольника с вершинами в точках (0,0), (2,6) и (7,1).

Двойные интегралы в полярных координатах Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой сектор круга радиусом .

Пример Вычислить двойной интеграл посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой круг .


На главную страницу: Решение задач по математике