http://inyazstudio.ru детские языковые лагеря данные на сайте
Контрольная по математике Элементы линейной алгебры Векторная алгебра Математический анализ Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Вычислить двойной интеграл Двойные интегралы в прямоугольной области Интегрирование по частям

Математика. Решение задач контрольных, курсовых заданий. Примеры

Пример 2 Вычислить двойной интеграл

, в котором область интегрирования R ограничена прямыми линиями .


Решение.
Область интегрирования R имеет вид неправильного треугольника и показана на рисунке 3. Чтобы упростить ее, введем новые переменные: . Выразим x, y через u, v и определим образ области интегрирования S в новой системе координат. Легко видеть, что
     
Рис.3
Рис.4
Заметим, что
     
Следовательно,
     
Таким образом, мы получаем
     
Если , то . Соответственно, если , то . Область S имеет вид прямоугольного треугольника (рисунок 4 выше).

Уравнение стороны можно переписать в виде
     
Найдем якобиан.
     
Следовательно, и двойной интеграл становится равным

     

   Пример 3

Вычислить интеграл , где область R ограничена параболами и гиперболами .


Решение.
Область R схематически показана на рисунке 5.
Рис.5
Для упрощения области R сделаем замену переменных.
     
Образ S области R определяется следующим образом:
     
Как видно, образ S является прямоугольником. Для нахождения якобиана выразим переменные x, y через u, v.
     
Отсюда следует
     
Находим якобиан данного преобразования.
     
Соотношение между дифференциалами имеет вид
     
Теперь легко найти искомый интеграл:

     

  Пример 4 Вычислить интеграл , где область R ограничена прямыми .


Решение.
Область интегрирования R имеет форму параллелограмма и показана на рисунке 6.
Рис.6
Рис.7
Сделаем следующую замену переменных:
     
Цель этой замены − упростить область интегрирования R.
Найдем образ S области R в новых координатах u, v.
     
Из рисунка 7 видно, что область S представляет собой прямоугольник. Вычислим якобиан.
     
так что
     
Теперь можно вычислить двойной интеграл.

     

Замена переменных в тройных интегралах При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение. Найти объем области U, заданной неравенствами

Найти площадь треугольника с вершинами в точках (0,0), (2,6) и (7,1).

Двойные интегралы в полярных координатах Одним из частных случаев замены переменных является переход из декартовой в полярную систему координат Вычислить двойной интеграл , преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой сектор круга радиусом .

Пример Вычислить двойной интеграл посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования R представляет собой круг .


На главную страницу: Решение задач по математике