Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Контрольная по математике Элементы линейной алгебры Векторная алгебра Математический анализ Вычисление объемов с помощью тройных интегралов Вычислить двойной интеграл Двойные интегралы в прямоугольной области Интегрирование по частям

Математика. Решение задач контрольных, курсовых заданий. Примеры

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов

Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой

В цилиндрических координатах объем тела равен
В сферических координатах, соответственно, используется формула

Пример 1 Найти объем конуса высотой H и радиусом основания R (рисунок 2).


Решение.
Рис.1
Конус ограничен поверхностью и плоскостью z = H (рисунок 1). В декартовых координатах его объем выражается формулой
     
Вычислим этот интеграл в цилиндрических координатах, которые изменяются в пределах
     
Получаем (не забудем включить в интеграл якобиан ρ):
     
Находим объем конуса:

     

Пример 2 Найти объем шара x2 + y2 + z2 ≤ R2.


Решение.
Вычислим объем части шара, расположенной в первом октанте (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0), и затем умножим результат на 8. Получаем
     
В результате получена известная формула для объема шара радиусом R.

Пример 3 Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями, проходящими через точки A (1;0;0), B (0;2;0), C (0;0;3), и координатными плоскостями Oxy, Oxz, Oyz (рисунок 2).

Рис.2
Рис.3

Решение.
Уравнение прямой AB в плоскости Oxy (рисунок 3) имеет вид: y = 2 − 2x. При этом переменная x изменяется в интервале 0 ≤ x ≤ 1, а переменная y − в интервале 0 ≤ y ≤ 2 − 2x.

Составим теперь уравнение плоскости ABC в отрезках. Поскольку плоскость ABC отсекает отрезки 1, 2, 3, соответственно, на осях Ox, Oy и Oz, то ее уравнение имеет вид:
     
В общем виде уравнение плоскости ABC записывается как
     
Следовательно, пределы интегрирования по переменной z изменяются в промежутке от z = 0 до . Теперь можно вычислить объем заданного тетраэдра:

     

Первообразная и неопределённый интеграл В этом подразделе рассматривается задача отыскания функции, для которой заданная функция является производной. Пример. Вычислить интеграл . .

Пример Найти объем тетраэдра, ограниченного плоскостями x + y + z = 5, x = 0, y = 0, z = 0

Пример Найти объем тела, ограниченного сферой x2 + y2 + z2 = 6 и параболоидом x2 + y2 = z.

Метод замены переменной Вычислить интеграл . Решение. Применяем подстановку . Тогда или .


На главную страницу: Решение задач по математике