Мобильный-выездной шиномонтаж - прокатка грузовых дисков. Колесные диски.

Криволинейные интегралы первого рода Физические приложения двойных интегралов Физические приложения тройных интегралов Тройные интегралы в декартовых координатах Знакопеременные ряды. Вычислить сумму ряда Контрольная по математике


Математика. Решение задач контрольных, курсовых заданий. Примеры

Вычислить сумму ряда

. Указание: применить формулу Парсеваля к функции f (x) = x.

 


Решение.
Разложение в ряд Фурье функции f (x) = x в интервале [−π, π] имеет вид
     


Здесь коэффициенты Фурье имеют следующие значения: (поскольку функция f (x) = x нечетная) и . Используя формулу Парсеваля. получаем
     
Отметим, что называется дзета-функцией Римана ζ (s). Таким образом, мы доказали, что .
Применить формулу Парсеваля к функции .

Решение.
В примере 4 на странице Определение ряда Фурье и типичные примеры было найдено разложение функции в ряд Фурье в интервале [−π, π]:
     
где
     
Записывая равенство Парсеваля для этой функции, получаем
     
Ряд известен как дзета-функция Римана ζ (s). Следовательно,
     

Применяя формулу Парсеваля к функции

     
найти суммы рядов .

Решение.
Разложение данной функции в ряд Фурье имеет вид (попробуйте найти это самостоятельно):
     
Коэффициенты Фурье в этом разложении равны
     
Применяя к данной функции равенство Парсеваля
     
получаем
     
Несложно также найти и сумму ряда :
     
Здесь (смотрите пример 1 выше). Следовательно,

     

Вычислить сумму ряда .


Решение.
В предыдущей задаче было найдено, что
     
Полагая , получаем
     
Можно заметить, что
     
Следовательно,
     
Тогда сумма ряда равна
     

Сходимость рядов. Признаки сравнения

Необходимый признак сходимости, вообще говоря, не гарантирует сходимости ряда. Сходимость или расходимость ряда устанавливается с помощью достаточных признаков. Признаки сравнения, которые мы рассмотрим ниже, как раз и представляют собой достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.

Признаки сравнения рядов
Даны два ряда и − такие, что для всех n. Тогда справедливы следующие признаки:
  • Если сходится, то также сходится;
  • Если расходится, то также расходится.
  • Предельные признаки сравнения рядов
    Пусть даны два ряда и , у которых члены an и bn положительны для всех n. Тогда справедливы следующие предельные признаки:
    Так называемый обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при

    0 < p ≤ 1

    Предположим, что f (x) является периодической функцией с периодом 2π. Пусть для . Найти разложение Фурье для заданной параболической функции.

    Пример Найти периодические решения дифференциального уравнения , где k − константа, а f (x) − периодическая функция.

    Определить, сходится или расходится ряд .

    Найти разложение в ряд Фурье в комплексной форме для функции , заданной в интервале


    На главную страницу: Вычисление интеграла