Элементы линейной алгебры
Определители
Определители второго порядка
Определение. Выражение
называется определителем 2-го порядка.
Числа
– это элементы определителя. Определитель 2-го
порядка имеет две строки и два столбца. Индексы, стоящие внизу соответствующего
элемента, означают номер строки и номер столбца определителя, на пересечении которых
стоит указанный элемент. Например, элемент 
стоит в первой строке и втором столбце определителя.
Элементы
называют элементами главной диагонали определителя,
а другие два элемента – соответственно элементами побочной диагонали.
Пример 1. Вычислим определитель
.
Определители 3-го порядка
Определение. Выражение
(1. 1)
называется определителем 3-го порядка.
Пример 2. Вычислить определитель:
.
Решение. По определению получим:
Если в формуле (1.1) раскрыть определители 2-го порядка и собрать слагаемые с одинаковыми знаками, то имеем:
(1.2)
Элементы со знаком плюс и со знаком минус выбираются из определителя, как показано на рисунке:
Этот способ вычисления определителя 3-го порядка называется правилом треугольника.
Пример 3. Вычислить определитель:
по правилу треугольника.
Решение. Перемножим элементы главной диагонали определителя, затем – элементы, лежащие на параллелях к этой диагонали, и элементы из противоположного угла определителя согласно правилу треугольника. Элементы, входящие в формулу (1.2) со знаком минус строим аналогично, но относительно побочной диагонали.
Замечание. Если применить правило треугольника к определителю треугольного вида
,
то этот определитель будет равен
произведению элементов главной диагонали, то есть 
.
Определение. Минором элемента определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, получающийся из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Минор элемента 
, стоящего на пересечении i-й строки
и j-го столбца определителя, обозначают М ij.
Например, для определителя
(1.3)
миноры:
Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя 3-го порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком плюс, если элемент стоит на пересечении строки и столбца с четной суммой номеров, и со знаком минус, если элемент стоит на пересечении строки и столбца с нечетной суммой номеров.
Алгебраическое дополнение элемента
обозначают 
. Согласно определению:
Для определителя 3-го порядка знаки алгебраических дополнений определяются по таблице:
| + | - | + |
| - |
+ | - |
| + | - | + |
Например, алгебраическое дополнение элемента
определителя (1.3) равно минору этого элемента,
взятому со знаком минус:
.
Из определения определителя 3-го порядка вытекает, что
.
Теорема разложения. Определитель 3-го порядка равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда определителя на их алгебраические дополнения (под рядом понимается строка или столбец).
Таким образом, имеет место шесть разложений:
(1.4)
Можно доказать, что сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна нулю.
Пример 4. Вычислить определитель
,
разлагая его по элементам второй строки.
Решение. Согласно теореме разложения имеем:
.
Свойства определителей
Формулируя свойства, мы не будем указывать порядок определителя, так как эти свойства справедливы для определителей любого порядка, но доказательства свойств проведём для определителей 3-го порядка.
1.Определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами, то есть
. (1.5)
Действительно,
разложим определитель слева по элементам первой строки, а определитель справа
по элементам первого столбца. Тогда в обоих случаях согласно теореме разложения
получим 
, что и доказывает неизменность определителя.
Замечание. Определитель в правой части формулы (1.5) называют транспонированным по отношению к определителю в левой части этой формулы.
2.Если переставить две строки (столбца) определителя, то он изменит знак.
Пусть в определителе
,
например, переставлены первая и вторая строки. Тогда получим определитель
.
Разложим определитель
по элементам второй строки с учётом знаков,
приписываемых алгебраическим дополнениям:
| + | - | + |
| - |
+ | - |
| + | - | + |
Так как знаки миноров элементов второй строки противоположны знакам миноров элементов первой строки, то
.
Следствие. Если две строки (столбца) определителя равны, то определитель равен нулю.
В самом деле, если в определителе
.
переставить первую и вторую строки
с одинаковыми элементами, то с одной стороны определитель не изменится, а с другой
стороны – он поменяет знак, то есть 
, откуда 
.
3.Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя.
Пусть дан определитель
.
Разложим его по элементам первой строки. Тогда он будет равен:
Следствие 1. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то такой определитель равен нулю.
Следствие 2. Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны элементам параллельного ряда, то определитель равен нулю.
Пусть, например, элементы первой и второй строк определителя пропорциональны. Тогда имеем
.
4.Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых все ряды, кроме данного, прежние, а в данном ряду в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые.
Допустим, что элементы первой строки определителя являются суммами двух слагаемых. Тогда имеем:
,
так как в первых скобках записано
разложение по первой строке определителя с элементами 
, а во вторых – разложение определителя с элементами
.
5.Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо ряда определителя прибавить или отнять элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число, то есть составить линейную комбинацию строк или столбцов.
Для доказательства этого рассмотрим определитель
.
Составим определитель, полученный из данного прибавлением к элементам его первой строки элементов второй строки, умноженных на число K.
по свойству 4. Далее по свойству 3 и следствию 2 к нему получим
Пример 5. Вычислить определитель
, используя свойства определителей.
Решение.
, так как у первого определителя, стоящего
в скобках, первая и последняя строки равны, а у второго – вторая и последняя строки
пропорциональны.
Пример 6. Решить уравнение
.
Решение. Снова преобразуем определитель, используя свойство 4.
Равенство нулю исходного определителя справедливо при любых значениях x, так как у первого определителя две строки равны, а у второго- пропорциональны.
Таким образом, 
.
Определители 4-го порядка. Методы их вычисления