|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1 (МЭСИ). На отрезках АВ и АС как на диаметрах построены полуокружности.
Задачи
В общую часть двух образовавшихся полукругов вписана окружность максимального радиуса. Найдите радиус этой окружности, если АВ=4, АС = 2,
ВАС = 120°.
Решение.
Пусть
и
— середины соответственно отрезков АВ и АС (рис. 1). Тогда
. Пусть r — радиус окружности, о которой говорится в условии задачи, О — ее центр. Для точек
имеем
, или 1 - r + 2
.
Отсюда. Очевидно, знак равенства достигается лишь в том случае, когда точка O принадлежит отрезку
Ответ:
Задача 2 (МАИ). Найдите периметр треугольника наибольшей площади, образованного большим основанием и продолжением боковых сторон трапеции, если известно, что длина верхнего основания трапеции в два раза меньше длины ее нижнего основания, а диагонали равны 5 и 6.
Решение.
Пусть ВС и AD —основания трапеции (рис. 2), ВС =
AD. Выходит, что ВС — средняя линия треугольника AED. Тогда
Следовательно, площадь треугольника AED достигает максимального значения при максимальной площади трапеции ABCD. Очевидно,
, т. е. площадь данной трапеции максимальна, если ее диагонали перпендикулярны. Итак, искомый периметр — это периметр треугольника с перпендикулярными медианами:
Ответ:
На главную страницу: Типовые расчеты по математике |
|
