Задача 1 (МЭСИ). На отрезках АВ и АС как на диаметрах построены полуокружности.
Задачи
В общую часть двух образовавшихся полукругов вписана
окружность максимального радиуса. Найдите радиус этой окружности, если АВ=4, АС
= 2, 
ВАС = 120°.
Решение.
Пусть 
и
— середины соответственно отрезков
АВ и АС (рис. 1). Тогда 
. Пусть r — радиус окружности, о которой говорится в условии
задачи, О — ее центр. Для точек ,, 
имеем 
, или 1 - r + 2 
.
Отсюда 
.
Очевидно, знак равенства достигается лишь в том случае, когда точка O принадлежит
отрезку .
Ответ: 
Задача 2 (МАИ). Найдите периметр треугольника наибольшей площади, образованного большим основанием и продолжением боковых сторон трапеции, если известно, что длина верхнего основания трапеции в два раза меньше длины ее нижнего основания, а диагонали равны 5 и 6.
Решение.
Пусть ВС
и AD —основания трапеции (рис. 2), ВС = 
AD. Выходит, что ВС — средняя линия
треугольника AED. Тогда 
Следовательно, площадь треугольника AED достигает
максимального значения при максимальной площади трапеции ABCD. Очевидно, 
, т. е. площадь данной трапеции максимальна,
если ее диагонали перпендикулярны. Итак, искомый периметр — это периметр треугольника
с перпендикулярными медианами:
Ответ: 