Контрольная
Типовой

Курсовая

Практикум
Карта

Практикум по решению математических задач. Вычислить интеграл

Формула вычисления объема фигуры вращения, образованной вращением линии вокруг координатной оси.

Пусть плоская кривая АВ задана уравнением y= f(x), где f(x) непрерывная на отрезке

 [a, b] функция. Мысленно вращая линию вокруг оси ОX или вокруг оси OYполучим поверхность вращения ограничивающий некоторый объем. Задача нахождения объема тела может решаться двумя способами.

  Первый способ - вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.

Это универсальный метод, пригодный не только для фигур вращения.

 Q(xi-1) 

 Q(xi)

 a xi-1 xi b x

  Пусть имеется тело объема V. Предполагаем, что площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки хi разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком - либо промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функция Q(x)( площадь сечения как функция переменной x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно Q(x): Mi и mi.

 Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны Mi Dxi и mi Dxi , здесь Dxi = xi - xi-1.

 Произведя такие построения для всех промежутков разбиения, получим цилиндры, сумма объемов которых равны соответственно   и ( вспомнить сумы Дарбу)

 При стремлении к нулю шага разбиения l, эти суммы имеют общий предел:

=V

Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:

  (21)

 Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма не просто  для сложных тел.

Пример 17: Найти объем шара радиуса R.

В поперечных сечениях перпендикулярно оси ОХ шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле y=.

Тогда площадь окружности является функция от х и имеет вид: Q(x) = .

С помощью формулы (21) получаем объем шара:

.

Пример 18: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.

 


 Q S

 x H x

 При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х – расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.

 Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.

Отсюда получаем функцию площадей сечений:

Находим объем пирамиды:

 Второй способ – вычисление объема тел вращения.

  Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

 y = f(x)

 



Для построения интегральной суммы проведем разбиение отрезка [a, b] на кусочки Δxi 

и через концы образовавшихся отрезков проведем плоскости перпендикулярно оси .

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x=ξi = const представляет собой круг радиуса  и его можно рассматривать как основание цилиндра высотой Δxi, то объем тела вращения может быть легко найден как предел суммы объемов цилиндров по полученной выше формуле:

Задача №1 вычислить интеграл: 

Где область имеет вид:

Решение:

Область - пирамида с вершиной в точке О и гранями 1,1,1:

Находим уравнение плоскости:

Z=1-x-y

Определяем пределы интегрирования

и решаем данный тройной интеграл:

Ответ:


На главную страницу: Типовые расчеты по математике