Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

На сайте долговнет.рф знают как избавиться от кредитов в Новосибирске.
Контрольная по математике Практикум Типовой расчет Электротехника

Практикум по решению математических задач. Вычислить интеграл

Формула вычисления объема фигуры вращения, образованной вращением линии вокруг координатной оси.

Пусть плоская кривая АВ задана уравнением y= f(x), где f(x) непрерывная на отрезке

 [a, b] функция. Мысленно вращая линию вокруг оси ОX или вокруг оси OYполучим поверхность вращения ограничивающий некоторый объем. Задача нахождения объема тела может решаться двумя способами.

  Первый способ - вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.

Это универсальный метод, пригодный не только для фигур вращения.

 Q(xi-1) 

 Q(xi)

 a xi-1 xi b x

  Пусть имеется тело объема V. Предполагаем, что площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки хi разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком - либо промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функция Q(x)( площадь сечения как функция переменной x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно Q(x): Mi и mi.

 Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны Mi Dxi и mi Dxi , здесь Dxi = xi - xi-1.

 Произведя такие построения для всех промежутков разбиения, получим цилиндры, сумма объемов которых равны соответственно   и ( вспомнить сумы Дарбу)

 При стремлении к нулю шага разбиения l, эти суммы имеют общий предел:

=V

Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:

  (21)

 Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма не просто  для сложных тел.

Пример 17: Найти объем шара радиуса R.

В поперечных сечениях перпендикулярно оси ОХ шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле y=.

Тогда площадь окружности является функция от х и имеет вид: Q(x) = .

С помощью формулы (21) получаем объем шара:

.

Пример 18: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.

 


 Q S

 x H x

 При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х – расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.

 Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.

Отсюда получаем функцию площадей сечений:

Находим объем пирамиды:

 Второй способ – вычисление объема тел вращения.

  Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

 y = f(x)

 



Для построения интегральной суммы проведем разбиение отрезка [a, b] на кусочки Δxi 

и через концы образовавшихся отрезков проведем плоскости перпендикулярно оси .

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x=ξi = const представляет собой круг радиуса  и его можно рассматривать как основание цилиндра высотой Δxi, то объем тела вращения может быть легко найден как предел суммы объемов цилиндров по полученной выше формуле:

Задача №1 вычислить интеграл: 

Где область имеет вид:

Решение:

Область - пирамида с вершиной в точке О и гранями 1,1,1:

Находим уравнение плоскости:

Z=1-x-y

Определяем пределы интегрирования

и решаем данный тройной интеграл:

Ответ:


На главную страницу: Типовые расчеты по математике