Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

колесные опоры. Широкий ассортимент.
Контрольная по математике Практикум Типовой расчет Электротехника

Практикум по решению математических задач. Вычислить интеграл

Площадь фигуры заданной в параметрической форме.

В этом  случае верхняя граница криволинейной трапеции представляет собой линию заданную параметрическими уравнениями {x = x(t), y = y(t), a £ t £ b } , а площадь находится по формуле

  (15)

Формула (15) получается из (14) заменой переменной.

Пример14: Найти площадь области ограниченной линией – графиком функции заданной в параметрической форме : x=a cos(t) , y=b sin(t), 0 £ t £ π/2 ( первая четверть эллипса) .Подставляем данные в формулу и результат сравниваем с ранее рассмотренной задачей.

Площадь области заданной в полярной системе координат.

В этом случае речь идет о площади криволинейного сектора

– площадь области ограниченной кривой ρ = ρ(φ) и двумя полярными радиусами , образующими с полярной осью углы a и b , a £ φ £ b . Здесь r - длина полярного радиуса, величина всегда положительная ( r≥0), соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а j - угол наклона этого полярного радиуса к полярной оси. Формула для вычисления площади криволинейного сектора находится по правилу построения интегральной суммы, т.е. как предел суммы площадей ∆Si секторов с углами при вершине Δφi, образовавшихся в результате разбиения сектора лучами, проведенными из вершины. При этом каждый из образовавшихся секторов будет иметь площадь ∆Si= 1/2 ρ(φi) Δφi ( как равнобедренный треугольник с боковыми сторонами ρ(φi) и углом при вершине Δφi) В результате получаем 

  (16)

Пример 14: Найти площадь области ограниченной  линиями ρ = ρ(φ)= aebφ , φ =0, φ = π (0 £ φ £π ) , ответ S= a2 /4b [e2bπ - 1] .

Пример 15: Найти площадь области ограниченной линиями ρ1 = ρ(φ)=asin φ, ρ2 = ρ(φ)=acos φ.

Изобразить область на плоскости и указать точку пересечения линий φ0=π/4. Теперь площадь области

 =

5.4. Формула вычисления длины дуги кривой.

  Пусть плоская кривая АВ задана уравнением y= f(x), где f(x) непрерывная на отрезке

[a, b] функция. Для нахождения длины кривой разобьем ее на n маленьких  кусочков ∆Li дуги. При большом числе разбиения дугу∆Li можно спрямить кусочком прямой (хорды) близкой по размеру.

 

Dyi y DL y = f(x)

 

 a Dxi b x

Тогда кривую АВ можно заменить ломанной кривой, построенной из прямых кусочков ∆Li.и вписанной в эту кривую.

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как . Тогда длина дуги равна L

Из геометрических соображений:

Тогда можно показать, что

   (17)

Если уравнение плоской кривой задано параметрически, {x=φ(t), y=ψ(t), α≤t≤β} то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции , получаем

  , (18)

Если задана пространственная кривая, и {х = j(t), у = y(t) и z = Z(t)}, то

  (19)

Если кривая задана в полярных координатах  r = f( j) , (α≤φ≤β) то

 , (20)

Для вывода формулы (20) надо вспомнить , как перевести уравнение кривой заданной в полярной системе координат в уравнение в параметрической форме и воспользоваться формулой (18).

Пример 16: Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = a2.

1 способ. Выразим из уравнения переменную у: - уравнение верхней половины окружности.

Найдем производную

и по формуле (17) длину четверти окружности 

Тогда L = 2 pa. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

2 способ. Если представить заданное уравнение окружности в полярной системе координат:, x=ρcosφ, y=ρsinφ  , то получим: ρ2cos2 j + ρ2sin2 j = a2, т.е. функция

 r = f( j) = a=const является уравнением окружности в полярной системе координат и производная этой функции  тогда

 


На главную страницу: Типовые расчеты по математике