Emporio Armani мужские    часы

Emporio Armani мужские часы

Гуманитарные науки

У нас студенты зарабатывают деньги

 Дипломы, работы на заказ, недорого

Дипломы, работы на заказ, недорого

 Cкачать    курсовую

Cкачать курсовую

 Контрольные работы

Контрольные работы

 Репетиторы онлайн по английскому

Репетиторы онлайн по английскому

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Приглашаем к сотрудничеству преподователей

Готовые шпаргалки, шпоры

Готовые шпаргалки, шпоры

Отчет по практике

Отчет по практике

Приглашаем авторов для работы

Авторам заработок

Решение задач по математике

Закажите реферат

Закажите реферат

Контрольная по математике Практикум Типовой расчет Электротехника

Практикум по решению математических задач. Вычислить интеграл

Записать в полярной системе координат область S

, заданную в декартовой системе координат неравенством (круг радиуса R с центром в точке ).

Ñ Перейдем от декартовых координат x, y к полярным  по формулам ,  . Подставим x и y в исходное неравенство, получим:  или . На координату j дополнительных ограничений не накладывается, поэтому  (или ).

В полярной системе координат круг записывается неравенствами: . #

7. Записать в полярной системе координат область S - часть круга, ограниченную линиями , ,  (),  — постоянные, .

Ñ Изобразим область S (рис. 9). Запишем заданные линии в полярных координатах, которые связаны с декартовыми формулами , : 1)Þ ;

2) Þ, ;

3)Þ

Область  переходит в область .

В полярной системе координат заданная область определяется системой неравенств: . #

8. Вычислить двойной интеграл , S - множество точек, удовлетворяющих неравенству .

Ñ Границей области является линия  или  - окружность радиуса 2 с центром в точке  (рис. 10).

Наличие в уравнении границы комбинации  наводит на мысль, что для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам  по формулам , , . Уравнение границы  переходит в уравнение  или . Отсюда r=0 (соответствует полюсу O) и - уравнение окружности. Так как всегда  (по смыслу r), то из  следует , отсюда получаем  (этот же результат можно усмотреть из рисунка). Итак, в полярных координатах область интегрирования есть . Тогда по формуле

. #

9. Вычислить , где  .

Ñ Область D ограничена линиями: – эллипс с полуосями a и b, – эллипс с полуосями  и , y=0 – прямая (ось Ox), – прямая (рис. 11).

Анализ границы области указывает на целесообразность перехода к эллиптическим полярным координатам по формулам: , . Уравнения границы области в координатах  будут: 1), 2)  , 3) , 4) . Итак, область интегрирования в координатах  есть

. Тогда 

. #

Задания.

Записать символически правильную в направлении Oy область , если ее проекция на плоскость Oxz, в свою очередь, есть правильная область.

Записать символически правильную в направлении Ox область , если ее проекция на плоскость Oyz есть правильная область.

10. Область V ограничена поверхностями  и z=0. Изобразить область и записать как правильную: а) в направлении Oz, б) в направ лении Ox.

Ñ Область V — круговой конус с боковой поверхностью, описываемой уравнением конической поверхности , основанием, лежащим на плоскости z=0, с вершиной в точке M(0;0;2) и осью, совпадающей с Oz (рис. 12).Область V - правильная во всех направлениях Ox, Oy, Oz. При z=0 из уравнения  имеем - уравнение окружности радиуса 2; таким образом, в основании конуса круг. а) Рассмотрим область V как правильную в направлении Oz. Из уравнения  имеем . Для точек области V имеем: . Проекция области V на плоскость Oxy есть  (рис. 13), поэтому  , где .Так как S — правильная область, то   или . Поэтому требуемая запись будет    или  .

б) Рассматривая область V как правильную в направлении Ox, из уравнения  имеем . Линии пересечения плоскости Oyz и конической поверхности находятся из решения системы уравнений:  ; в результате имеем  прямые в плоскости Oyz.

Итак, проекцией V на плоскость Oyz является область D — треугольник со сторонами z=y+2, z = –y+2, z=0 (рис. 14), поэтому  , где .

Так как область D – правильная, то рассматривая ее как правильную в направлении Oy, имеем , а потому  #

11. Вычислить , где область V ограничена поверхностями: .

Ñ Поверхности и  есть параболические цилиндры с образующими, параллельными  — плоскости. Область V – правильная в направлении Oz, а потому  для точек, принадлежащих V (рис. 15).

Проекция V на плоскость Oxy есть правильная область S, ограниченная линиями  и  (рис. 16), а потому,  и .

Тогда = =

==½см. (2.3)½= = = #

12. Вычислить тройной интеграл , где .

Ñ Область V ограничена полусферой  и полуконусом . Для удобства вычисления тройного интеграла перейдем к сферическим координатам по формулам:  , при этом . Неравенства, описывающие V, преобразуются:

а)

б) .

Так как нет ограничений на , то . В итоге, область интегрирования в сферических координатах есть  (этот же результат можно было усмотреть из чертежа). Тогда по формуле =

½повторный интеграл «расщепился» в произведение определенных интегралов½=. #


На главную страницу: Типовые расчеты по математике