Курсовой расчет по сопромату Профилактическое обслуживание ПК Электротехника Контрольная по математике Эпоха становления русской живописи

Эффективная организация обмена информации

Теорема Котельникова

Проанализируем результаты, представленные на рисунке 3.5. Как видно из графиков при выполнении условия

  

 2 m

(3.17)

слагаемые спектры дискретизированного сигнала либо не соприкасаются (рисунок 3.5в), либо примыкают друг к другу (рисунок 3.5б), но не перекрываются. Перекрытие слагаемых спектров происходит лишь в том случае, когда условие (3.17) не выполняется и <2 m. Очевидно, что при выполнении (3.17), используя идеальный фильтр низких частот с частотной характеристикой вида (3.18), где C=const>0, и полагая гр=m можно по дискретизированному сигналу точно восстановить спектр X(jw) функции x(t), а, следовательно, и саму эту функцию, отфильтровав все боковые спектры . Математически это преобразование описывается следующим образом:
(3.19), где X*(jw) - спектр сигнала на выходе восстанавливающего фильтра. Равенство , получающееся при , означает, что , где - сигнал на выходе фильтра, так как одна и та же спектральная плотность не может соответствовать двум различным временным функциям. Графическая иллюстрация восстановления показана на рисунке 3.6.
Из условия уточним коэффициент передачи фильтра: так как , т.е. , то (3.20).

Если неравенство (3.17) не выполняется, то из-за взаимного перекрытия слагаемых Х[j(w-nw0)] происходит изменение формы спектра Х(jw) (см. 3.5 г) и точное восстановление Х(jw), а следовательно и x(t) невозможно. Таким образом, при выполнении неравенства (3.17) процесс с дискретным временем x(t), являющийся результатом дискретизации непрерывного процесса х(t), теоретически содержит всю информацию о всех значениях непрерывного процесса х(t).
Данное утверждение и составляет основное содержание теоремы Котельникова, которая обычно формируется так: непрерывная функция времени, не содержащая в своем спектре частот свыше wm, полностью определяется последовательностью своих дискретных отсчетов x(k t), следующих с частотой . Проведенные рассуждения составляют один из возможных вариантов доказательства этой теоремы.