медь пруток
Конспект лекций по физике Проектирование электронных устройств Курсовой расчет по сопромату Контрольная по математике Решение практических задач Позиционные задачи Метрические задачи Аксонометрические проекции Когда господину требуются в личной жизни нововведения, ему должно подайться к безупречным куртизанкам. Дешевые проститутки станут хорошим выбором. Они воплотят все ваши сексапильные фантазии: минет, сношение или что-то иное, задумывать вам. | Хотите проститься с невинностью, обратитесь к истинным специалисткам. Дорогие индивидуалки станут уместным решением. Вы подлинно одержите настоящее и добротное любовное опьянение.

Начертательная геометрия. Выполнение заданий контрольной работы

Аксонометрические проекции

Развитие геометрии Основные закономерности и свойства пространства, составляющие содержание элементарной геометрии, излагались еще до нашей эры в трудах греческих геометров. Особенно большое значение имели работы Эвклида, жившего в III веке до нашей эры. В своих «Началах» Эвклид изложил элементарную геометрию, которая получила название эвклидова геометрия. В основу своей геометрии Эвклид положил систему постулатов, на которых строится эта наука.

Комплексный чертёж Монжа Наибольшее применение на практике получил чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемой фигуры. Такой чертеж называется комплексным чертежом в ортогональных проекциях или комплексным чертежом. Его предложил использовать в конце XVIII века французский инженер Гаспар Монж.

Комплексный чертеж прямой линии В соответствии со свойством прямолинейности параллельной проекции (см. тему 1) проекцией прямой линии является прямая линия. Поэтому на комплексном чертеже прямая линия будет задаваться в виде своих проекций – прямых линий. Как известно, прямая линия определяется двумя точками.

Проекционные свойства проецирующих прямых 1) одна из проекций прямой является точкой (на ту плоскость проекций, которой она перпендикулярна); эта проекция прямой совпадает с её единственным следом; 2) остальные проекции прямой являются прямыми, перпендикулярными к осям координат; на эти плоскости проекций прямая проецируется без искажения в натуральную величину.

Взаимное положение прямых

Плоскость общего положения на комплексном чертеже Определителем плоскости называется совокупность геометрических элементов, однозначно задающих положение плоскости в пространстве. На комплексном чертеже плоскость задаётся проекциями элементов своего определителя. Плоскость считается заданной, если относительно произвольной точки пространства можно однозначно решить вопрос о её принадлежности к этой плоскости. Плоскость называется плоскостью общего положения, если она не параллельна и не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций.

К плоскостям частного положения относятся плоскости перпендикулярные и параллельные плоскостям проекций.

Взаимное положение прямых и плоскостей В процессе проектирования и изготовления нового изделия инженерам часто приходится решать задачи, связанные с различными геометрическими объектами. Такие задачи делятся на метрические и позиционные. При решении метрических задач определяются различные геометрические величины: длины отрезков, углы, площади, объемы и т.п. Мы с вами уже встречались с подобными задачами.

Построение линии пересечения проецирующей плоскости с плоскостью общего положения Для решения этой задачи необходимо определить две точки прямой пересечения плоскостей. На плоскости общего положения выбираются две произвольные прямые (как правило, это прямые, входящие в определитель плоскости) и находятся точки их пересечения с проецирующей плоскостью. Соединив найденные точки между собой прямой линией, получим искомую линию пересечения.

Рассмотрим примеры. В точке А восстановить перпендикуляр m к плоскости

Взаимное перпендикулярные прямые В связи с тем, что прямой угол между прямыми общего положения искажается на обеих плоскостях проекций, задачу на построение взаимно перпендикулярных прямых общего положения приходится сводить к задаче о перпендикулярности прямой и плоскости. При этом исходят из того, что две прямые взаимно перпендикулярны в том и только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость перпендикулярную к другой прямой.

Название аксонометрическая происходит от древнегреческих слов аксон – ось и метрио – измеряю. Метод аксонометрического проецирования состоит в том, что данная фигура вместе с осями прямоугольных координат, к которым она отнесена в пространстве, проецируется на некоторую плоскость проекций, называемую аксонометрической плоскостью проекций или картинной плоскостью. В зависимости от вида проецирования аксонометрическая проекция называется:

центральной – используется центральное проецирование;

параллельной – используется параллельное проецирование.

Причем в последнем случае аксонометрическая проекция может быть косоугольной (при косоугольном проецировании) и ортогональной или прямоугольной (при ортогональном проецировании).

В нашем курсе мы рассмотрим лишь параллельную и ортогональную аксонометрические проекции. На рис.1.6 показана схема проецирования точки А на некоторую аксонометрическую плоскость проекций П0 по направлению проецирования S.

Рис.1.6

Прямые ОХ, ОY, ОZ являются осями натуральной системы координат ОХYZ, а прямые О0Х0, О0Y0, О0Z0 - осями аксонометрической системы координат О0Х0Y0Z0. Отрезок е принят за натуральную масштабную единицу, а отрезки ех, ey, еz - за аксонометрические масштабные единицы по соответствующим осям координат. Проекция точки А на горизонтальную плоскость ХОY обозначена А1.

Трёхзвенная пространственная линия ОАХА1А, определяющая положение точки А относительно натуральной системы координат ОХYZ, называется натуральной координатной ломаной. Звенья этой ломаной являются отрезками координат: ОАх - отрезок абсциссы, АхА1 - отрезок ординаты, А1А - отрезок аппликаты точки А. Длины отрезков координат точки А, измеренные установленной натуральной масштабной единицей е, называются натуральными координатами точки А:

.

Точка A0 - аксонометрическая проекция точки А. Плоская ломаная О0Ах0А10А0, которая называется аксонометрической координатной ломаной, является проекцией натуральной координатной ломаной. Так как при параллельном проецировании сохраняется простое отношение трех точек, получим:

  

Мы получили основное свойство аксонометрических проекций: аксонометрические координаты точек, измеренные аксонометрическими масштабами, численно равны натуральным. Таким образом, особенность рассматриваемого метода аксонометрии заключается в том, что это есть координатный метод построения наглядного однокартинного чертежа, обладающего свойством обратимости.

Для удобства построения аксонометрических чертежей используют показатели искажения - отношения аксонометрического масштаба к натуральному масштабу:

. (1.1)

Если все три коэффициента искажения равны между собой, аксонометрическая проекция называется изометрической; если равны между собой любые два коэффициента искажения, проекция называется диметрической; если все коэффициенты различны - проекция называется триметрической. При построении аксонометрических проекций обычно пользуются некоторыми величинами, пропорциональными коэффициентам искажения. Эти величины называются приведенными коэффициентами искажения.

Приведем теорему Польке, которая дает ответ на вопрос, как можно выбрать на чертеже аксонометрические оси и аксонометрические масштабы. Три отрезка произвольной длины, лежащие в одной плоскости и выходящие из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют собой параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на осях прямоугольной системы координат от ее начала.

Исходя из этой теоремы, можно взять на плоскости П0 три проходящие через одну точку несовпадающие прямые, отложить на них три произвольной длины отрезка ех, еy, еz и утверждать, что данную фигуру можно рассматривать, как параллельную проекцию прямоугольной системы координат ОХYZ с отложенными на ее осях масштабного коэффициента е. Следовательно, параллельная аксонометрическая проекция в общем случае определяется пятью независимыми параметрами: тремя аксонометрическими масштабами и двумя углами между аксонометрическими осями.

Плоскость аксонометрических проекций, пересекая плоскости натуральной системы координат, образует треугольник, называемый треугольником следов. Рассмотрим прямоугольную аксонометрию. Доказано, что в этом случае треугольник следов является остроугольным. При этом отрезок ОО0 перпендикулярен плоскости П0 (рис.1.7). Отрезки О0Х0, О()Y0, О0Z0 (аксонометрические проекции отрезков на осях координат) являются катетами прямоугольных треугольников, а сами отрезки на осях координат - гипотенузами. Отсюда:

.

Но эти отношения представляют собой коэффициенты искажения k, m, n. Следовательно, k=соs(j), m=соs(d), n=соs(g).

Справедлива следующая теорема: сумма квадратов показателей искажения в ортогональной аксонометрии равна двум:

k2+m2+n2=2. (1.2)

Из теоремы следует, что можно задаваться лишь двумя показателя искажения, а третий должен определяться по формуле (1.2). Выясним, какие значения могут принимать показатели искажения в ортогональной аксонометрии. Из формул (1.1) следует

0≤k≤1; 0≤m≤1; 0≤n≤1.  (1.3)

Рис.1.7

Равенство одного из показателей искажения нулю, говорит о том, что соответствующая натуральная ось координат перпендикулярна к аксонометрической плоскости проекций П0 (соs90°=0), а две другие оси координат ей параллельны. Равенство одного из показателей единице означает, что соответствующая натуральная ось координат параллельна аксонометрической плоскости проекций П0 (соs0°=1).

Не всякие три числа, удовлетворяющие условию (1.3), могут являться показателями искажения. Из (1.3) следует, что

0£k2£1; 0£m2£1; 0£n2£1. (1.4)

Если принять во внимание условие (1.2), можно написать:

1£k2+m2£2; 1£k2+n2£2; 0£n2+m2£1. (1.5)

Следовательно, в ортогональной аксонометрической проекции величины коэффициентов искажения должны быть такими, чтобы сумма квадратов любых двух показателей искажения была бы не менее единицы и не более двух. Кроме того доказано, что показатели искажения определяют направления аксонометрических осей и, наоборот, заданием аксонометрических осей определяются и показатели искажения. Таким образом, ортогональная аксонометрическая проекция определяется двумя параметрами: двумя показателями искажения или двумя углами между аксонометрическими осями

Для косоугольной аксонометрии зависимость между показателями искажения выражается следующей формулой:

k2+m2+n2=2+ctg(a),  (1.6)

где a - угол наклона направления проецирования к плоскости проекций. Из этой формулы следует, что в косоугольной аксонометрии показатели искажения должны удовлетворять следующим условиям:

0£k<¥; 0£m<¥; 0£n<¥. (1.7)

Однако не всякие три числа, удовлетворяющие указанным условиям, могут являться показателями искажения в косоугольной аксонометрии. Сумма квадратов двух любых показателей искажения должна удовлетворять следующим условиям:

1£k2+m2<¥; 1£k2+n2<¥; 1£n2+m2<¥. (1.8)

Остановимся на стандартных видах аксонометрических проекциях. ГОСТ 2.317-69 рекомендует к применению на чертежах следующие пять видов аксонометрических проекций.

Ортогональная изометрия. Показатели искажения равны между собой ( k = m = n = 0.82). На практике чаще всего используют приведенные показатели искажения, которые принимают равными 1. Поэтому изображение в этом случае увеличивается в 1.22 раза. Треугольник следов в этой проекции равносторонний, а значит углы между аксонометрическими осями координат равны 120° (рис.1.8).

Ортогональная диметрия. Соотношение показателей искажения принимается k = n = 2m. Тогда их величина должна быть равна k = n » 0.94 , m » 0.47. Вместо этих значений пользуются приведенными показателями искажения k = n =1, m = 0.5 (изображение увеличивается в 1.06 раза). Расположение осей аксонометрической системы координат показано на рис.1.9.

Косоугольная фронтальная изометрия. Показатели искажения следующие: k = m = n = 1. Расположение осей аксонометрической системы координат показано на рис. 1.10.

Рис.1.8 Рис.1.9

Косоугольная горизонтальная изометрия. Показатели искажения следующие: k = m = n = 1. Расположение осей аксонометрической системы координат показано на рис.1.11.

5. Косоугольная фронтальная диметрия. Показатели искажения k = n = 1, m = 0.5. Расположение осей аксонометрической системы координат показано на рис.1.12.

Рис.1.10 Рис.1.11 Рис.1.12


Когда господину требуются в личной жизни нововведения, ему должно подайться к безупречным куртизанкам. Дешевые проститутки станут хорошим выбором. Они воплотят все ваши сексапильные фантазии: минет, сношение или что-то иное, задумывать вам. | Хотите проститься с невинностью, обратитесь к истинным специалисткам. Дорогие индивидуалки станут уместным решением. Вы подлинно одержите настоящее и добротное любовное опьянение.

На главную страницу: Контрольная по графике